Куб: грани, рёбра, вершины и развёртка
🔢 Математика · 4 класс
У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин: как запомнить, 11 развёрток, сумма длин рёбер, площадь поверхности, отличие от квадрата.
Куб: сколько у него граней, рёбер и вершин
У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Все грани куба — равные квадраты, все рёбра одинаковой длины. Ответ на вопрос «сколько сторон у куба» зависит от того, что называют стороной: если грани (плоские «стенки») — их 6, если рёбра (отрезки, по которым грани сходятся) — их 12. В задачах 4 класса под «сторонами» обычно имеют в виду грани.
Куб — это объёмная фигура, все грани которой — равные квадраты. На куб похожи игральный кубик, кусочек сахара, кубик Рубика, коробка с одинаковыми сторонами. В отличие от плоских фигур — квадрата или треугольника — куб имеет три измерения: длину, ширину и высоту, и у куба все три одинаковые.
Элементы куба
| Элемент | Что это | Сколько у куба |
|---|---|---|
| Грань | плоская сторона куба, квадрат | 6 |
| Ребро | отрезок, по которому сходятся две грани | 12 |
| Вершина | точка, где сходятся три ребра и три грани | 8 |
Эти три числа — 6, 12, 8 — стоит запомнить: они нужны почти в каждой задаче про куб. Проверить их легко на кубике: пересчитайте стенки, потом отрезки-рёбра, потом уголки.
Как запомнить, сколько рёбер у куба
Куб стоит на столе. У него есть «пол» — квадрат с 4 рёбрами, «потолок» — ещё квадрат с 4 рёбрами, и 4 вертикальных ребра-«столбика», соединяющих пол с потолком. 4 + 4 + 4 = 12 рёбер. Вершин: 4 внизу и 4 вверху — 8. Граней: пол, потолок и 4 боковые стенки — 6.
Есть и проверка формулой Эйлера, которую проходят позже: вершины − рёбра + грани = 2. Для куба: 8 − 12 + 6 = 2 — сходится.
Сколько рёбер сходится в одной вершине
В каждой вершине куба сходятся 3 ребра и 3 грани. Каждое ребро принадлежит двум граням, а каждая грань ограничена четырьмя рёбрами. Отсюда ещё один способ посчитать рёбра: 6 граней · 4 ребра = 24, но каждое ребро посчитано дважды, значит 24 : 2 = 12.
Развёртка куба
Развёртка — это фигура, которая получается, если куб разрезать по некоторым рёбрам и разложить на плоскости. Развёртка куба состоит из 6 одинаковых квадратов, соединённых сторонами. Если её вырезать из бумаги и согнуть по линиям, снова получится куб.
Существует 11 разных развёрток куба. Самая известная — «крест»: четыре квадрата в ряд и по одному сверху и снизу от второго. Но не всякая фигура из шести квадратов сворачивается в куб: например, шесть квадратов в один ряд или квадрат 2 × 3 куб не дают — грани наложатся друг на друга.
Как проверить развёртку без ножниц: выберите один квадрат «полом»; четыре квадрата, примыкающие к нему через цепочку сторон, станут стенками, и должен остаться ровно один квадрат для «потолка», причём он не должен упасть на уже занятую стенку.
Сумма длин всех рёбер
Так как у куба 12 равных рёбер, сумма длин всех рёбер равна длине одного ребра, умноженной на 12:
сумма всех рёбер = длина ребра · 12
Пример. Ребро куба 5 см. Сумма длин рёбер: 5 · 12 = 60 см. Столько проволоки нужно, чтобы согнуть каркас такого куба.
Обратная задача. На каркас куба ушло 36 см проволоки. Длина ребра: 36 : 12 = 3 см.
Площадь граней и площадь поверхности
Площадь одной грани — это площадь квадрата: ребро · ребро. Площадь всей поверхности куба — это шесть таких квадратов. Для куба с ребром 4 см: одна грань 4 · 4 = 16 см², вся поверхность 16 · 6 = 96 см². Столько бумаги уйдёт, чтобы оклеить кубик без нахлёста.
Куб и квадрат: в чём разница
| Квадрат | Куб | |
|---|---|---|
| Какая фигура | плоская | объёмная |
| Измерений | 2 (длина и ширина) | 3 (длина, ширина, высота) |
| Сторон / граней | 4 стороны | 6 граней (каждая — квадрат) |
| Вершин | 4 | 8 |
| Можно ли нарисовать «как есть» | да | только в проекции, с невидимыми рёбрами пунктиром |
Куб и прямоугольный параллелепипед
Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда (коробки), у которого все три измерения равны. У параллелепипеда тоже 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин, но грани — прямоугольники, а рёбра бывают трёх разных длин. Поэтому сумму рёбер параллелепипеда считают как (a + b + c) · 4, а для куба это превращается в a · 12.
Задания для самопроверки
- Сколько у куба граней, рёбер, вершин? — 6, 12, 8.
- Ребро куба 7 см. Найди сумму длин всех рёбер. — 84 см.
- Сумма всех рёбер куба 96 см. Найди ребро. — 8 см.
- Ребро куба 3 дм. Найди площадь одной грани и всей поверхности. — 9 дм² и 54 дм².
- Сколько квадратов в развёртке куба? — 6.
- Сколько рёбер сходится в одной вершине куба? — 3.
- Найди сумму числа рёбер и числа граней куба. — 12 + 6 = 18.
Частые ошибки
- Отвечать «6 рёбер» — 6 у куба граней, а рёбер 12.
- Считать ребро «стороной квадрата» и умножать на 4 вместо 12 при подсчёте каркаса.
- Верить, что любые 6 квадратов, соединённых сторонами, — развёртка куба.
- Путать площадь одной грани с площадью всей поверхности (нужно умножить на 6).
Кратко о главном
- Куб — объёмная фигура из 6 равных квадратных граней; у него 12 рёбер и 8 вершин.
- В каждой вершине сходятся 3 ребра.
- Развёртка куба — 6 квадратов; правильных развёрток 11.
- Сумма длин всех рёбер = ребро · 12; площадь поверхности = ребро · ребро · 6.