Решение текстовых задач на движение

Основные формулы

Текстовые задачи на движение решают с помощью связи трёх величин: пути s, скорости v и времени t. Базовая формула равномерного движения: s = v·t. Из неё выражают остальные величины: v = s/t и t = s/v. Чтобы составить уравнение, одну из неизвестных обозначают буквой x, а остальные величины выражают через неё по условию задачи.

Движение по реке

Когда тело движется по воде, его скорость зависит от течения. Если собственная скорость равна v_соб, а скорость течения v_теч, то фактическая скорость меняется так:

Направление	Скорость
по течению	v_соб + v_теч
против течения	v_соб - v_теч
в стоячей воде (по озеру)	v_соб
плот (без двигателя)	v_теч

Разобранный пример

Катер прошёл 30 км по течению и 30 км против течения, затратив на весь путь 4 часа. Скорость течения равна 2 км/ч. Найдём собственную скорость катера.

пусть v_соб = x (км/ч), x > 2 по течению: v = x + 2, t_1 = 30 / (x + 2) против течения: v = x - 2, t_2 = 30 / (x - 2) уравнение: 30/(x + 2) + 30/(x - 2) = 4 30·(x - 2) + 30·(x + 2) = 4·(x + 2)·(x - 2) 30·x - 60 + 30·x + 60 = 4·(x^2 - 4) 60·x = 4·x^2 - 16 4·x^2 - 60·x - 16 = 0 x^2 - 15·x - 4 = 0 выбираем положительный корень, больший 2

Типы задач на движение

• навстречу друг другу — скорость сближения равна сумме скоростей;
• вдогонку — скорость сближения равна разности скоростей;
• в противоположных направлениях — скорость удаления равна сумме скоростей;
• движение по реке — учитывают скорость течения.

Совет по оформлению

Перед составлением уравнения полезно заполнить таблицу с тремя столбцами — путь, скорость, время — для каждого участка движения. Это помогает не запутаться и правильно выразить время через путь и скорость.

Задачи навстречу и вдогонку

Если два тела выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми s, то до встречи они вместе проходят весь путь s. Время до встречи равно t = s / (v_1 + v_2), где складывают скорости. В задачах вдогонку первое тело догоняет второе: расстояние между ними сокращается со скоростью, равной разности скоростей v_1 - v_2. Если разность не положительна, догнать не удастся.

Перевод единиц

В задачах нередко смешивают разные единицы. Чтобы перевести скорость из км/ч в м/с, делят на 3,6; обратно — умножают на 3,6. Время из минут переводят в часы делением на 60. Перед составлением уравнения все величины приводят к одной системе единиц.

Частые ошибки. Следите за единицами измерения: если скорость в км/ч, то время в часах, а путь в километрах. Если время дано в минутах, переведите его в часы. Проверяйте, что найденная скорость физически возможна — отрицательную скорость и скорость, меньшую скорости течения, отбрасывают.

Кратко о главном

• Основная формула равномерного движения: s = v·t.
• По течению скорости складывают, против течения — вычитают.
• Неизвестную обозначают x и выражают остальные величины.
• Таблица «путь — скорость — время» упрощает составление уравнения.
• Отрицательные и физически невозможные корни отбрасывают.