Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Бесконечно убывающая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют геометрическую прогрессию, у которой модуль знаменателя меньше единицы, то есть |q| < 1. В этом случае члены прогрессии по модулю становятся всё меньше и меньше, неограниченно приближаясь к нулю. На первый взгляд кажется странным, но сумму всех её бесконечно многих членов можно выразить обычным конечным числом.

Откуда берётся формула

Возьмём формулу суммы первых n членов в виде S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q). Посмотрим, что происходит, когда |q| < 1 и число членов n неограниченно растёт. Степень q^n при этом становится сколь угодно близкой к нулю: например, (1/2)^10 уже меньше одной тысячной. Значит, слагаемое q^n можно отбросить, и в формуле остаётся только постоянная часть. Так получают сумму всей бесконечной прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = a_1 / (1 - q), при условии |q| < 1.

Условие применимости

Разобранный пример

Найдём сумму прогрессии 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., где a_1 = 1 и q = 1/2.

Подставим в формулу: S = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2.

Сколько бы членов мы ни складывали, частичная сумма приближается к 2, но никогда его не превышает: 1; 1,5; 1,75; 1,875 и так далее. Так бесконечная сумма даёт конечное число 2.

Перевод бесконечной дроби в обыкновенную

Важное применение — обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную. Например, дробь 0,(3), то есть 0,333..., можно записать как сумму прогрессии 0,3 + 0,03 + 0,003 + ..., где a_1 = 0,3 и q = 0,1. Тогда S = 0,3 / (1 - 0,1) = 0,3 / 0,9 = 1/3. Получаем известное равенство 0,(3) = 1/3. Тем же приёмом обращают в обыкновенную дробь любую чисто периодическую десятичную дробь.

Геометрический смысл

Идею бесконечной суммы удобно представить наглядно. Возьмём квадрат площадью 1 и закрасим половину, затем половину оставшегося, потом половину нового остатка и так далее. Закрашенные части как раз образуют прогрессию 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... Сколько ни добавляй частей, они в сумме заполняют почти весь квадрат, приближаясь к площади 1, но никогда её не превышая. По формуле S = (1/2) / (1 - 1/2) = 1 — ровно площадь всего квадрата. Это и подтверждает, что бесконечная сумма имеет конечное значение.

Частые ошибки. Применяют формулу, когда |q| не меньше единицы; путают 1 - q и q - 1 в знаменателе; забывают сначала проверить условие сходимости.

Кратко о главном

• Прогрессия бесконечно убывающая, если |q| < 1.
• Сумма всех членов равна S = a_1 / (1 - q).
• При |q| >= 1 такой суммы не существует.
• Формула применяется для перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную.