Область определения функции
📐 Алгебра · 9 класс
Определение
Областью определения функции называют множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл, то есть для которых можно вычислить её значение. Область определения обозначают D(y) или D(f) и читают как «дэ от игрек».
Для многих функций область определения — все действительные числа. Так ведут себя линейная функция y = kx + b и квадратичная y = ax^2 + bx + c: в их формулах нет ни деления, ни корней, поэтому подставить можно любое число. Но как только в формуле появляется дробь или квадратный корень, возникают ограничения.
Основные ограничения
| Вид выражения | Ограничение |
|---|---|
Дробь A / B | Знаменатель не равен нулю: B ≠ 0 |
Квадратный корень √A | Подкоренное выражение неотрицательно: A ≥ 0 |
Корень в знаменателе 1/√A | Подкоренное выражение строго положительно: A > 0 |
| Многочлен | Ограничений нет |
Как находить область определения
- Найти все «опасные места» в формуле: знаменатели и подкоренные выражения.
- Записать соответствующие условия (знаменатель не ноль, подкоренное выражение неотрицательно).
- Решить эти условия и пересечь полученные множества — взять только то, что удовлетворяет всем условиям сразу.
Разобранный пример
y = √(x - 2) / (x - 5)Здесь два ограничения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x - 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2. Знаменатель не должен равняться нулю: x - 5 ≠ 0, то есть x ≠ 5. Объединяя оба условия, получаем область определения: x ≥ 2 и при этом x ≠ 5.
Ещё один пример
Для функции y = 1 / (x^2 - 4) опасно только деление. Знаменатель x^2 - 4 равен нулю при x = 2 и x = -2, поэтому область определения — все числа, кроме этих двух. Записывают это так: x ≠ 2 и x ≠ -2.
Сочетание дроби и корня
Когда в формуле есть и корень, и дробь, ограничения накладываются вместе. Например, для функции y = √(x + 1) / √(x - 2) подкоренное выражение числителя требует x + 1 ≥ 0, а корень в знаменателе требует строгого неравенства x - 2 > 0, ведь на ноль делить нельзя. Пересечение условий даёт x > 2. Видно, что более сильное ограничение «поглощает» более слабое.
Частые ошибки. Для квадратного корня пишут строгое неравенство вместо нестрогого (под корнем допустим ноль); забывают второе ограничение, если их несколько; не пересекают условия, а берут только одно из них; не находят все нули знаменателя.
Кратко о главном
- Область определения — все допустимые значения аргумента функции.
- Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль.
- Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
- При нескольких ограничениях их условия пересекают.
- У многочленов область определения — все действительные числа.