Признаки делимости и остатки

Признаки делимости и остатки

Признак делимости — это правило, позволяющее по записи числа, не выполняя самого деления, определить, делится ли оно нацело на данное число. Признаки экономят время в вычислениях и помогают быстро раскладывать числа на множители. Если же деление не нацело, остаётся остаток — неотрицательное число, обязательно меньшее делителя.

Большинство признаков опираются на запись числа в десятичной системе. Одни смотрят только на последнюю цифру, другие — на сумму всех цифр. Понимание, почему признак работает, помогает не заучивать правила, а применять их осознанно и не путать между собой.

Основные признаки

Для составных делителей признак собирают из признаков для взаимно простых множителей. Например, число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно и на 2, и на 3. Точно так же делимость на 15 проверяют через делимость на 3 и на 5. Это удобно: вместо нового правила достаточно знать признаки для простых чисел.

Деление с остатком

Любое натуральное число a при делении на b можно единственным образом записать как a = b·q + r, где q — неполное частное, а остаток r удовлетворяет условию 0 ≤ r < b. Эта запись называется теоремой о делении с остатком и лежит в основе многих рассуждений о целых числах.

47 = 5·9 + 2 — при делении 47 на 5 частное 9, остаток 2.

100 = 7·14 + 2 — остаток от деления 100 на 7 равен 2.

Разобранный пример

Проверим, делится ли 2 0 1 6 на 3 и на 9.

Сумма цифр: 2 + 0 + 1 + 6 = 9.

9 делится и на 3, и на 9, значит 2016 делится и на 3, и на 9.

Частые ошибки. Считают остаток отрицательным или большим делителя. Применяют признак делимости на 3 к последней цифре вместо суммы цифр. Путают признаки для 3 и 9. Забывают, что делимость на 6 требует делимости и на 2, и на 3 одновременно.

Остатки обладают полезным свойством: при сложении и умножении чисел их остатки складываются и перемножаются по тем же правилам, а затем снова берётся остаток. Поэтому, например, остаток суммы можно найти, сложив остатки слагаемых. Это сильно упрощает задачи, где нужно узнать лишь остаток большого выражения, а не его точное значение.

Где применяется

• Сокращение дробей и разложение на множители.
• Проверка вычислений по сумме цифр.
• Задачи на остатки и периодичность последних цифр.
• Определение делимости больших чисел без громоздких вычислений.

Кратко о главном

• Признаки делимости определяют делимость без самого деления.
• Делимость на 3 и 9 проверяют по сумме цифр.
• Деление с остатком: a = b·q + r, где 0 ≤ r < b.
• Остаток всегда меньше делителя и неотрицателен.
• Делимость на составное число сводят к делимости на множители.