Функция «квадратный корень» и преобразования графиков

Функция «квадратный корень»

Функцией квадратного корня называют функцию, заданную формулой y = √x. Она определена только для неотрицательных значений аргумента, поэтому её область определения — x ≥ 0. Все её значения тоже неотрицательны, то есть область значений — y ≥ 0.

График этой функции — половина параболы, лежащая на боку. Он выходит из начала координат и плавно поднимается вправо и вверх. Функция возрастает на всей области определения: чем больше аргумент, тем больше значение функции. Это удобно запомнить по нескольким опорным точкам.

Свойства функции квадратного корня

• Область определения: x ≥ 0.
• Область значений: y ≥ 0.
• Функция возрастает на всей области определения.
• График проходит через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).

Преобразования графиков

Зная график некоторой функции y = f(x), можно строить графики родственных функций с помощью сдвигов вдоль осей координат, не вычисляя заново множество точек. Это сильно ускоряет построение.

Разобранный пример

y = √(x - 3) + 2

Берём за основу график функции y = √x. Запись x - 3 под корнем означает сдвиг всего графика вправо на три единицы. Слагаемое + 2 снаружи поднимает график вверх на две единицы. В итоге начало графика перемещается из точки (0; 0) в точку (3; 2), а форма кривой полностью сохраняется.

Порядок сдвигов

Сначала удобно выполнить горизонтальный сдвиг (по аргументу), а затем вертикальный (по значению). Можно проверить результат по опорной точке: подставив x = 3, получаем y = √0 + 2 = 2, что подтверждает новое положение начала графика. Если же сдвиги перепутать местами и сначала прибавить два, а потом сдвигать, для линейных сдвигов результат совпадёт, но привычка соблюдать порядок пригодится при более сложных преобразованиях, где он важен. Поэтому лучше сразу приучить себя к единому порядку действий.

Правило. Преобразования внутри аргумента (запись x - a) сдвигают график вдоль горизонтальной оси и действуют «наоборот»: x - a — вправо, x + a — влево. Слагаемое снаружи сдвигает график вдоль вертикальной оси в естественную сторону: вверх или вниз.

Частые ошибки. Путают направление горизонтального сдвига; забывают, что корень определён только при неотрицательном подкоренном выражении; строят полную параболу вместо её половины; меняют местами горизонтальный и вертикальный сдвиги.

Кратко о главном

• Функция y = √x определена при x ≥ 0 и возрастает.
• Её график — ветвь параболы, выходящая из начала координат.
• Слагаемое внутри корня сдвигает график по горизонтали (наоборот знаку).
• Слагаемое снаружи сдвигает график по вертикали.
• Форма графика при сдвигах не изменяется.