Разложение квадратного трёхчлена на множители

Формула разложения

Квадратный трёхчлен вида a·x^2 + b·x + c можно представить в виде произведения линейных множителей, если его дискриминант неотрицателен. Если x_1 и x_2 — корни уравнения a·x^2 + b·x + c = 0, то справедливо разложение a·x^2 + b·x + c = a·(x - x_1)·(x - x_2). Эта формула напрямую связана с теоремой Виета и формулой корней квадратного уравнения.

Старший коэффициент a обязательно сохраняется множителем перед скобками. Это самая частая забываемая деталь: если её потерять, выражение изменит своё значение в a раз.

Порядок действий

1. Найти дискриминант D = b^2 - 4·a·c.
2. Определить число корней: при D > 0 — два разных корня, при D = 0 — один двойной, при D < 0 — действительных корней нет.
3. Вычислить корни по формуле x = (-b ± √D) / (2·a).
4. Подставить найденные корни в формулу разложения.
5. При желании проверить результат раскрытием скобок.

Значение D	Корни	Разложение
D > 0	два разных	a·(x - x_1)·(x - x_2)
D = 0	один двойной	a·(x - x_1)^2
D < 0	нет действительных	не раскладывается

Разобранный пример

Разложим на множители трёхчлен 2·x^2 - 10·x + 12.

D = (-10)^2 - 4·2·12 = 100 - 96 = 4 √D = 2 x_1 = (10 - 2) / (2·2) = 8/4 = 2 x_2 = (10 + 2) / (2·2) = 12/4 = 3 итог: 2·x^2 - 10·x + 12 = 2·(x - 2)·(x - 3)

Проверка раскрытием скобок: 2·(x-2)·(x-3) = 2·(x^2 - 5·x + 6) = 2·x^2 - 10·x + 12 — совпало с исходным выражением. Раскрытие скобок — надёжный способ проверки: если после перемножения получился исходный трёхчлен, разложение выполнено верно.

Связь с теоремой Виета

Формула разложения тесно связана с теоремой Виета. Если уравнение приведённое, то есть a = 1, то x^2 + p·x + q = (x - x_1)·(x - x_2). Раскрыв правую часть, получим x^2 - (x_1 + x_2)·x + x_1·x_2. Сравнивая коэффициенты, видим, что p = -(x_1 + x_2) и q = x_1·x_2 — это и есть равенства Виета. Поэтому целые корни приведённого трёхчлена часто можно подобрать устно, а потом сразу записать разложение.

Случай двойного корня

Разложим x^2 - 6·x + 9. Здесь D = 36 - 36 = 0, значит корень один: x_1 = 3. Тогда x^2 - 6·x + 9 = (x - 3)^2. Это полный квадрат, что также видно по формуле квадрата разности.

Применение к дробям

Разложение помогает сокращать алгебраические дроби и упрощать выражения. Например, дробь (x^2 - 5·x + 6) / (x - 2) равна (x - 2)·(x - 3) / (x - 2) = x - 3 при условии x ≠ 2. Другой пример: (2·x^2 - 10·x + 12) / (x - 3) = 2·(x - 2) при x ≠ 3.

Правило. Перед сокращением дроби всегда записывайте область допустимых значений: множитель в знаменателе не может обращаться в нуль. Сокращение без учёта этого ограничения приводит к потере «запрещённых» точек и к ошибке. Не забывайте и про множитель a в разложении.

Кратко о главном

• a·x^2 + b·x + c = a·(x - x_1)·(x - x_2), где x_1, x_2 — корни.
• Множитель a нельзя терять.
• При D = 0 получается полный квадрат a·(x - x_1)^2.
• При D < 0 разложение на действительные множители невозможно.
• Разложение применяют для сокращения дробей и упрощения выражений.