Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Что такое сумма первых членов прогрессии

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом — разностью прогрессии d. Во многих задачах требуется найти не отдельный член, а сумму нескольких первых членов подряд. Такую сумму обозначают S_n: это сумма a_1 + a_2 + ... + a_n, то есть результат сложения первых n членов.

Складывать члены по одному долго, особенно когда их сотни. Поэтому в алгебре выводят готовую формулу. По известной истории, эту идею в детстве переоткрыл математик Гаусс: учитель задал классу сложить все числа от 1 до 100, а Гаусс мгновенно дал ответ 5050, заметив, что числа удобно складывать парами с одинаковой суммой.

Вывод формулы

Запишем сумму дважды: сначала по возрастанию членов, а затем те же члены в обратном порядке. Сложим оба равенства почленно. Тогда каждая пара слагаемых, стоящих друг под другом, даёт одну и ту же сумму a_1 + a_n, ведь насколько один член отстоит от начала, настолько другой отстоит от конца. Таких одинаковых пар получается ровно n штук, поэтому удвоенная сумма равна (a_1 + a_n) * n. Разделив пополам, получаем основную формулу.

Сумма первых n членов: S_n = (a_1 + a_n) / 2 * n.

Если последний член нам неизвестен, его выражают через первый член и разность по формуле a_n = a_1 + (n - 1) * d и подставляют. Получается вторая, очень удобная форма записи: S_n = (2 * a_1 + (n - 1) * d) / 2 * n. Обе формулы равноправны — выбирают ту, для которой известны нужные величины.

Когда какую формулу применять

Разобранный пример

Найдём сумму первых десяти членов прогрессии, в которой a_1 = 3 и d = 4.

Сначала найдём десятый член: a_10 = 3 + (10 - 1) * 4 = 3 + 36 = 39.

Теперь применим основную формулу: S_10 = (3 + 39) / 2 * 10 = 42 / 2 * 10 = 21 * 10 = 210.

Сумма равна 210. Тот же ответ получится по второй формуле: S_10 = (2*3 + 9*4) / 2 * 10 = (6 + 36) / 2 * 10 = 21 * 10 = 210. Совпадение подтверждает правильность вычислений.

Где это применяется

Формула суммы нужна в практических задачах: подсчёт числа брёвен в штабеле, где каждый ряд короче предыдущего на одно бревно; общая длина пути при равномерно растущей дистанции; суммарная экономия при ежемесячном увеличении вклада на постоянную величину. Везде, где величины меняются с постоянным шагом, удобно применять арифметическую прогрессию и её сумму.

Частые ошибки. Путают число членов n и номер последнего члена; забывают делить сумму крайних членов на два; в формуле a_n пишут множитель n вместо (n - 1).

Кратко о главном

• Сумма S_n — это сумма первых n членов прогрессии.
• Основная формула: S_n = (a_1 + a_n) / 2 * n.
• Если нет последнего члена, используют S_n = (2*a_1 + (n-1)*d) / 2 * n.
• Сумма членов, равноотстоящих от концов, одинакова — на этом основан вывод.