Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Сумма членов геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число — знаменатель прогрессии q (причём q не равен нулю). Как и для арифметической прогрессии, для геометрической существует формула суммы первых n членов, которую обозначают S_n. Она избавляет от долгого сложения многих слагаемых.

Вывод формулы

Запишем сумму подробно: S_n = a_1 + a_1*q + a_1*q^2 + ... + a_1*q^(n-1). Умножим обе части этого равенства на знаменатель q. Тогда каждое слагаемое сдвинется на один шаг вперёд. Вычтем исходное равенство из полученного: почти все слагаемые в середине взаимно уничтожатся, и останется только разность крайних. После несложных преобразований приходим к компактной формуле.

При q, не равном 1: S_n = a_1 * (q^n - 1) / (q - 1).

Если же знаменатель равен 1, все члены прогрессии одинаковы и равны a_1. Тогда формула выше теряет смысл из-за деления на ноль, и сумму считают напрямую: S_n = a_1 * n.

Разные формы записи

Иногда удобнее переписать формулу через последний член: S_n = (a_n * q - a_1) / (q - 1). Это та же формула, в которой a_1 * q^n заменили на a_n * q, ведь a_n = a_1 * q^(n-1). Такой записью пользуются, когда последний член уже найден, а вычислять высокую степень знаменателя не хочется.

Порядок решения задачи

1. Выписать из условия первый член a_1 и знаменатель q.
2. Проверить, не равен ли знаменатель единице, чтобы выбрать верную формулу.
3. Вычислить степень q^n и подставить значения в формулу.
4. При возможности проверить ответ прямым сложением нескольких членов.

Разобранный пример

Найдём сумму первых пяти членов прогрессии, где a_1 = 2 и q = 3.

Сначала вычислим степень: q^5 = 3^5 = 243.

Теперь подставим в формулу: S_5 = 2 * (243 - 1) / (3 - 1) = 2 * 242 / 2 = 242.

Сумма равна 242. Проверим прямым сложением членов 2, 6, 18, 54, 162: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242. Ответы совпали, значит, формула применена верно.

Где это применяется

Геометрическая прогрессия описывает процессы, в которых величина каждый шаг меняется в одно и то же число раз: рост вклада под сложные проценты, размножение клеток делением, ослабление сигнала при прохождении через слои. Сумма членов помогает, например, найти общий доход по вкладу за несколько лет или суммарное число особей за несколько поколений.

Частые ошибки. Применяют формулу при q = 1, получая деление на ноль; путают степень q^n с произведением q * n; теряют знак, когда знаменатель отрицателен.

Кратко о главном

• Сумма первых n членов при q, не равном 1: S_n = a_1 * (q^n - 1) / (q - 1).
• При q = 1 сумма равна a_1 * n.
• Формулу выводят умножением суммы на знаменатель и вычитанием.
• Результат полезно проверить прямым сложением при малом n.