Рекуррентный способ задания последовательностей

Два способа задать последовательность

Числовую последовательность можно задать разными способами. Формула n-го члена выражает любой член напрямую через его номер, например a_n = 2·n + 1: подставив номер, сразу получаем нужный член. Рекуррентная формула задаёт каждый член через один или несколько предыдущих и обязательно указывает начальные члены.

Слово «рекуррентный» происходит от латинского «возвращающийся»: чтобы найти очередной член, мы возвращаемся к уже известным предыдущим членам.

Как устроена рекуррентная формула

Рекуррентное задание всегда состоит из двух частей: указания первого члена (или нескольких первых) и правила перехода к следующему члену. Например, последовательность задана так: a_1 = 3, a_(n+1) = a_n + 4. Здесь первая часть фиксирует начало, а вторая показывает, как из одного члена получить следующий.

a_1 = 3 a_2 = a_1 + 4 = 7 a_3 = a_2 + 4 = 11 a_4 = a_3 + 4 = 15 получаем: 3; 7; 11; 15; ...

Последовательность	Рекуррентная формула	Начало
арифметическая прогрессия	a_(n+1) = a_n + d	a_1
геометрическая прогрессия	b_(n+1) = b_n · q	b_1
числа Фибоначчи	a_(n+2) = a_(n+1) + a_n	a_1 = 1, a_2 = 1

Числа Фибоначчи

Известный пример рекуррентной последовательности — числа Фибоначчи, где каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Для такой формулы нужно задать сразу два начальных члена.

a_1 = 1, a_2 = 1 a_3 = a_2 + a_1 = 2 a_4 = a_3 + a_2 = 3 a_5 = a_4 + a_3 = 5 a_6 = a_5 + a_4 = 8 ряд: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ...

Сравнение двух способов

У каждого способа свои достоинства. Формула n-го члена позволяет сразу найти любой член, например сотый, не вычисляя предыдущие. Рекуррентная формула нагляднее показывает закон образования последовательности, но требует последовательных вычислений. Иногда от рекуррентной формулы переходят к формуле n-го члена: так, для прогрессий выведены готовые формулы.

Прогрессии как пример

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получают прибавлением одного и того же числа d, называемого разностью. Её рекуррентная формула a_(n+1) = a_n + d, а формула n-го члена — a_n = a_1 + (n - 1)·d. Геометрическая прогрессия устроена похоже, но каждый член умножают на знаменатель q: рекуррентно b_(n+1) = b_n · q, а напрямую b_n = b_1 · q^(n-1). Видно, что одну и ту же последовательность можно описать обоими способами.

Как задают последовательность

Кроме формул, последовательность задают словесно (правило для каждого члена) или перечислением нескольких первых членов с указанием закономерности. Однако перечисление не всегда однозначно: по нескольким первым членам можно придумать разные продолжения. Поэтому в задачах закон образования задают точно — формулой или описанием.

Частые ошибки. Рекуррентная формула без указания начальных членов не задаёт последовательность однозначно — начало обязательно. Если формула связывает член с двумя предыдущими, нужно задать два начальных члена. Чтобы найти, например, десятый член, придётся последовательно вычислить все предыдущие: «перепрыгнуть» через них нельзя.

Кратко о главном

• Рекуррентная формула выражает член через предыдущие.
• Обязательно задают начальный член (или несколько).
• Прогрессии — частный случай рекуррентного задания.
• Числа Фибоначчи: каждый член — сумма двух предыдущих.
• Формула n-го члена даёт член сразу, рекуррентная — через предыдущие.