Системы уравнений: метод сложения
📐 Алгебра · 9 класс
Суть метода сложения
Метод алгебраического сложения применяют для решения систем линейных уравнений с двумя переменными. Идея в том, чтобы, сложив уравнения (иногда предварительно домножив их на числа), исключить одну переменную и получить уравнение с одной неизвестной, которое решается легко.
Метод опирается на верное свойство равенств: если к обеим частям одного уравнения прибавить соответственно равные между собой левую и правую части другого уравнения, то равенство сохранится. Поэтому сложение двух верных уравнений даёт новое верное уравнение.
Когда метод удобен
Сложение особенно эффективно, если перед одинаковой переменной в двух уравнениях стоят противоположные коэффициенты (например, +3y и −3y): тогда при сложении эта переменная сразу исчезает. Если коэффициенты одинаковые, переменную исключают вычитанием. Если же коэффициенты разные, уравнения сначала домножают на подходящие числа.
Алгоритм
- Уравнять модули коэффициентов при одной переменной, домножив уравнения на подходящие числа.
- Сложить (или вычесть) уравнения так, чтобы эта переменная исчезла.
- Решить полученное уравнение с одной переменной.
- Подставить найденное значение в любое исходное уравнение и найти вторую переменную.
- Записать ответ в виде пары чисел
(x; y).
| Шаг | Что делаем | Результат |
|---|---|---|
| 1 | домножаем для уравнивания | равные модули коэффициентов |
| 2 | складываем или вычитаем уравнения | одна переменная исчезла |
| 3 | решаем линейное уравнение | значение одной переменной |
| 4 | подставляем обратно | значение второй переменной |
Первый пример (вычитание)
Решим систему:
{ 2x + 3y = 13
2x − y = 1 }
Коэффициенты при x одинаковы (по 2),
поэтому вычтем из первого уравнения второе:
(2x + 3y) − (2x − y) = 13 − 1
2x − 2x + 3y + y = 12
4y = 12 ⇒ y = 3
Подставим в 2x − y = 1:
2x − 3 = 1 ⇒ x = 2
Ответ: (2; 3)
Второй пример (с домножением)
Решим систему, где коэффициенты не совпадают:
{ 3x + 2y = 16
5x − 4y = 1 }
Домножим первое уравнение на 2:
6x + 4y = 32
Сложим со вторым (слагаемые с y противоположны):
(6x + 4y) + (5x − 4y) = 32 + 1
11x = 33 ⇒ x = 3
Тогда 3·3 + 2y = 16 ⇒ 2y = 7 ⇒ y = 3,5
Ответ: (3; 3,5)
Частые ошибки. При вычитании уравнений забывают менять знак у всех слагаемых второго уравнения. Ещё ошибаются при домножении: умножать нужно обе части уравнения целиком, а не отдельные члены. Перепроверяйте знаки на каждом шаге.
Кратко о главном
- Метод сложения исключает одну переменную сложением или вычитанием уравнений.
- Сначала уравнивают модули коэффициентов при выбранной переменной.
- После исключения решают уравнение с одной неизвестной.
- Вторую переменную находят подстановкой в любое исходное уравнение.