Функция обратной пропорциональности

Определение

Функцией обратной пропорциональности называют функцию вида y = k/x, где k — отличное от нуля число (коэффициент), а x ≠ 0. Графиком этой функции является кривая, которую называют гиперболой.

Название связано с тем, что произведение x · y = k остаётся постоянным: при увеличении x в несколько раз значение y уменьшается во столько же раз. Именно поэтому говорят, что величины обратно пропорциональны.

Область определения и значений

Так как делить на нуль нельзя, область определения — все числа, кроме нуля. Записывают это так: x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Область значений — тоже все числа, кроме нуля: значение y = 0 функция не принимает никогда, ведь дробь k/x при k ≠ 0 нулю не равна.

График — гипербола

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей, расположение которых зависит от знака коэффициента k. Чем больше модуль k, тем дальше ветви отходят от начала координат.

Знак k	Расположение ветвей	Монотонность
k > 0	I и III четверти	убывает на каждом промежутке
k < 0	II и IV четверти	возрастает на каждом промежутке

Особые свойства

• Гипербола симметрична относительно начала координат, поэтому функция нечётная: f(−x) = −f(x).
• Оси координат служат асимптотами: ветви бесконечно приближаются к ним, но никогда не пересекают.
• Графика нет в точке x = 0 — там разрыв, ветви уходят в бесконечность.
• Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Пример построения

Построим график функции y = 6/x по таблице значений:

x: 1 2 3 6 −1 −2 −3 y: 6 3 2 1 −6 −3 −2 Проверка: x · y = 6 во всех столбцах k = 6 > 0 ⇒ ветви в I и III четвертях В I четверти при росте x значение y убывает

Сравнение двух гипербол

Возьмём y = 2/x и y = 8/x. Обе имеют ветви в I и III четвертях, так как коэффициенты положительны. Но при одинаковом x вторая функция даёт большее по модулю y, поэтому её ветви расположены дальше от осей координат, чем у первой.

Где встречается на практике

Обратная пропорциональность описывает многие реальные зависимости. Например, при постоянном пути s время t обратно пропорционально скорости: t = s/v. Чем быстрее движется тело, тем меньше времени уходит на дорогу. Так же связаны число рабочих и время выполнения одной и той же работы.

Частые ошибки. Пишут, что функция «убывает на всей области определения» — это неверно. Она убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) по отдельности, ведь между ними разрыв. Сравнивать значения из разных ветвей по монотонности нельзя.

Кратко о главном

• Обратная пропорциональность — это y = k/x при k ≠ 0.
• График — гипербола из двух ветвей; при k > 0 они в I и III четвертях.
• Область определения и значений — все числа, кроме нуля.
• Функция нечётная, оси координат — её асимптоты.