Дискриминант и число корней квадратного уравнения

Что такое дискриминант

Для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 (где a ≠ 0) ключевую роль играет величина, которую называют дискриминантом:

D = b^2 − 4ac

Слово «дискриминант» означает «различитель». По его знаку сразу видно, сколько корней имеет уравнение, ещё до их вычисления. Поэтому решение квадратного уравнения обычно начинают именно с подсчёта D.

Число корней по знаку D

Знак D	Число корней	Геометрия (парабола и ось Ox)
D > 0	два различных корня	пересекает ось в двух точках
D = 0	один корень (двукратный)	касается оси в одной точке
D < 0	корней нет	не пересекает ось

Формула корней

Если D ≥ 0, корни находят по формуле:

x = (−b ± √D) / (2a)

При D = 0 оба значения совпадают и получается единственный корень x = −b / (2a). Знак «плюс-минус» означает, что в числителе берут сначала сумму, потом разность.

Первый пример (два корня)

Решим 2x^2 − 7x + 3 = 0:

a = 2, b = −7, c = 3 D = (−7)^2 − 4·2·3 = 49 − 24 = 25 √D = 5 (D > 0 — два корня) x_1 = (7 + 5) / 4 = 3 x_2 = (7 − 5) / 4 = 0,5 Ответ: x = 3 и x = 0,5

Проверка по теореме Виета: сумма x_1 + x_2 = 3,5 = 7/2 = −b/a, произведение x_1 · x_2 = 1,5 = 3/2 = c/a — совпадает.

Второй пример (один корень)

Решим x^2 − 6x + 9 = 0:

a = 1, b = −6, c = 9 D = (−6)^2 − 4·1·9 = 36 − 36 = 0 D = 0 ⇒ один корень x = −b/(2a) = 6/2 = 3 Ответ: x = 3

А для уравнения x^2 + x + 1 = 0 получаем D = 1 − 4 = −3, число отрицательное, значит, действительных корней нет.

Неполные квадратные уравнения

Если в уравнении отсутствует слагаемое с x или свободный член, его называют неполным. Такие уравнения можно решать и без дискриминанта, хотя формула тоже подойдёт.

1) ax^2 + c = 0 — выражаем x^2 = −c/a, затем извлекаем корень (если −c/a ≥ 0) 2) ax^2 + bx = 0 — выносим x за скобку: x(ax + b) = 0 ⇒ x = 0 или x = −b/a

Например, уравнение x^2 − 5x = 0 даёт x(x − 5) = 0, откуда x = 0 или x = 5 — сразу два корня без вычисления D.

Связь дискриминанта и графика

График функции y = ax^2 + bx + c — парабола. Число корней уравнения равно числу точек пересечения этой параболы с осью абсцисс. Поэтому знак D можно понимать геометрически: при D > 0 парабола пересекает ось в двух точках, при D = 0 касается её, а при D < 0 вовсе не достаёт до оси.

Частые ошибки. Теряют знак при возведении b в квадрат: (−7)^2 = 49, а не −49. Также забывают, что при отрицательном D извлекать корень нельзя, и уравнение действительных корней не имеет. Ещё путаются в знаках коэффициентов b и c, не выписав их перед подстановкой.

Кратко о главном

• Дискриминант: D = b^2 − 4ac.
• D > 0 — два корня, D = 0 — один, D < 0 — корней нет.
• Корни: x = (−b ± √D) / (2a).
• Знак b в квадрате всегда даёт положительное число.