Теорема Виета

Что утверждает теорема Виета

Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Она названа в честь французского математика Франсуа Виета и позволяет решать многие задачи устно, не вычисляя дискриминант. Для приведённого квадратного уравнения x^2 + p·x + q = 0, если оно имеет корни x_1 и x_2, выполняются два равенства: сумма корней равна x_1 + x_2 = -p, а произведение корней равно x_1·x_2 = q.

Для квадратного уравнения общего вида a·x^2 + b·x + c = 0 формулы записывают так: x_1 + x_2 = -b/a и x_1·x_2 = c/a. Теорема справедлива только тогда, когда дискриминант неотрицателен, то есть корни действительно существуют. Если D = 0, считают, что уравнение имеет два совпадающих корня, и теорема всё равно применима.

Прямая и обратная теоремы

Прямая теорема позволяет, зная корни, сразу назвать сумму и произведение. Обратная теорема Виета работает в другую сторону: если для двух чисел выполнено x_1 + x_2 = -p и x_1·x_2 = q, то эти числа являются корнями уравнения x^2 + p·x + q = 0. Именно обратная теорема используется для устного подбора корней: достаточно найти два числа с нужной суммой и нужным произведением.

Уравнение	Сумма корней -p	Произведение q	Корни
x^2 - 5·x + 6 = 0	5	6	2 и 3
x^2 + 7·x + 10 = 0	-7	10	-2 и -5
x^2 - x - 12 = 0	1	-12	-3 и 4
x^2 + 2·x - 15 = 0	-2	-15	-5 и 3

Пример подбора корней

Решим уравнение x^2 - 5·x + 6 = 0 устно. Нам нужны два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 6.

по обратной теореме Виета: x_1 + x_2 = 5 x_1 · x_2 = 6 перебор пар с произведением 6: (1; 6), (2; 3) проверка суммы: 2 + 3 = 5 ✓ ответ: x_1 = 2, x_2 = 3

Если коэффициенты больше, метод подбора всё равно полезен: он быстро проверяет догадку. Например, для уравнения x^2 - 13·x + 36 = 0 подходят числа 4 и 9, ведь 4 + 9 = 13 и 4·9 = 36. Удобно сначала рассматривать произведение: оно подсказывает знаки корней. Если q > 0, корни одного знака; если q < 0 — разных знаков.

Составление уравнения по корням

Обратную теорему применяют и для составления уравнения. Пусть нужно уравнение с корнями 4 и -2. Тогда сумма равна 4 + (-2) = 2, произведение равно 4·(-2) = -8. Значит, p = -2, q = -8, и искомое уравнение — x^2 - 2·x - 8 = 0.

Частые ошибки. Не забывайте знак: сумма корней равна минус коэффициенту p, а не самому p. Теорему в форме x_1+x_2=-p применяют только к приведённому уравнению; если старший коэффициент не равен единице, сначала разделите все коэффициенты на a. И помните: подбор корнем не заменяет проверки — найденные числа должны удовлетворять обоим равенствам одновременно.

Где применяется

• быстрый устный подбор целых корней приведённого уравнения;
• проверка корней, найденных через дискриминант;
• составление квадратного уравнения по заданным корням;
• задачи, в которых известны сумма и произведение двух неизвестных;
• определение знаков корней без их вычисления.

Кратко о главном

• Для x^2 + p·x + q = 0: x_1 + x_2 = -p, x_1·x_2 = q.
• Для общего вида делим на a: x_1+x_2=-b/a, x_1·x_2=c/a.
• Обратная теорема восстанавливает уравнение по сумме и произведению корней.
• Знак произведения подсказывает, одного ли знака корни.
• Метод удобен для устного подбора и проверки решений.