Системы уравнений второй степени

Что это за системы

Системой уравнений второй степени называют систему из двух уравнений с двумя переменными, в которой хотя бы одно уравнение имеет вторую степень. Решить систему — значит найти все пары значений переменных, которые одновременно обращают каждое уравнение в верное равенство.

Графически решение — это точки пересечения линий, заданных уравнениями. Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, касаться в одной или не пересекаться вовсе. Окружность и прямая ведут себя так же. Поэтому у системы бывает два решения, одно или ни одного, а иногда и больше.

Способ подстановки

Если одно из уравнений линейное, удобен способ подстановки. Из линейного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение во второе уравнение. Получается одно уравнение с одной переменной, которое уже умеют решать.

Разобранный пример

{ x + y = 5
{ x·y = 6

Из первого уравнения выразим переменную: y = 5 - x. Подставим во второе уравнение:

x·(5 - x) = 6
5x - x^2 = 6
x^2 - 5x + 6 = 0
x1 = 2, x2 = 3

При x = 2 получаем y = 3; при x = 3 получаем y = 2. Ответ — две пары: (2; 3) и (3; 2). Каждую найденную пару полезно подставить в исходные уравнения и убедиться, что оба равенства верны.

Способ сложения

Если оба уравнения второй степени, иногда помогает способ сложения (или вычитания). Уравнения складывают или вычитают почленно так, чтобы исчезла одна из переменных или один из квадратов. После этого остаётся более простое уравнение.

Пример

{ x^2 + y^2 = 13
{ x^2 - y^2 = 5

Сложив уравнения почленно, получим 2·x^2 = 18, откуда x^2 = 9 и x = 3 или x = -3. Подставив x^2 = 9 в первое уравнение, найдём y^2 = 4, то есть y = 2 или y = -2. Получаются четыре решения: все сочетания знаков.

Замечание о числе решений

Число решений системы заранее не известно. Полезно представить геометрический смысл: например, прямая может пересекать окружность в двух точках, касаться её (одно решение) или проходить мимо (решений нет). Алгебраически это проявляется через дискриминант полученного квадратного уравнения.

Частые ошибки. Теряют решения, забывая про второй корень квадратного уравнения; не подставляют найденные значения обратно и пишут лишние пары; путают, какой переменной соответствует найденное число; при способе сложения теряют один из знаков квадратного корня.

Кратко о главном

• Система второй степени содержит хотя бы одно уравнение второй степени.
• Решение — пары значений, а графически — точки пересечения линий.
• Если одно уравнение линейное, применяют подстановку.
• Если оба второй степени — часто помогает сложение или вычитание.
• Каждую найденную переменную обязательно подставляют обратно.