Метод выделения полного квадрата

Суть метода

Выделение полного квадрата — это преобразование квадратного трёхчлена a·x^2 + b·x + c к виду a·(x + m)^2 + k. Метод опирается на формулу квадрата суммы (x + m)^2 = x^2 + 2·m·x + m^2 и формулу квадрата разности (x - m)^2 = x^2 - 2·m·x + m^2.

Приём нужен сразу для нескольких задач: решать квадратные уравнения без формулы дискриминанта, находить вершину параболы, определять наименьшее или наибольшее значение трёхчлена, а также упрощать выражения под знаком корня.

Алгоритм для приведённого трёхчлена

1. Рассмотреть выражение x^2 + b·x + c.
2. Взять половину коэффициента при x — это число b/2.
3. Прибавить и тут же вычесть его квадрат (b/2)^2.
4. Свернуть первые три слагаемых в квадрат двучлена (x + b/2)^2.
5. Привести подобные слагаемые в свободной части.

x^2 + 6·x + 5 = x^2 + 6·x + 9 - 9 + 5 (прибавили и вычли 9 = (6/2)^2) = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4

Трёхчлен	Половина при x	Её квадрат	Результат
x^2 + 6·x + 5	3	9	(x + 3)^2 - 4
x^2 - 4·x + 1	-2	4	(x - 2)^2 - 3
x^2 + 2·x + 7	1	1	(x + 1)^2 + 6

Решение уравнения

Решим уравнение x^2 + 6·x + 5 = 0 через полный квадрат.

(x + 3)^2 - 4 = 0 (x + 3)^2 = 4 x + 3 = 2 или x + 3 = -2 x_1 = -1, x_2 = -5

Старший коэффициент не равен единице

Если перед x^2 стоит множитель, его сначала выносят за скобку у первых двух слагаемых. Например, для 2·x^2 + 8·x + 5: 2·(x^2 + 4·x) + 5 = 2·((x + 2)^2 - 4) + 5 = 2·(x + 2)^2 - 3.

Поиск вершины параболы

Если y = (x + 3)^2 - 4, то наименьшее значение равно -4 и достигается при x = -3. Значит, вершина параболы имеет координаты (-3; -4), а прямая x = -3 — ось симметрии. Так метод сразу даёт и вершину, и наименьшее значение функции. Это работает потому, что квадрат (x + 3)^2 всегда неотрицателен и обращается в нуль только при x = -3; значит, к этому моменту вся функция принимает наименьшее значение.

Наибольшее и наименьшее значение

Если коэффициент при квадрате положителен, выделенный квадрат даёт наименьшее значение трёхчлена. Если же коэффициент отрицателен, например y = -(x - 2)^2 + 5, то наибольшее значение равно 5 и достигается при x = 2. Так выделение полного квадрата помогает решать задачи на поиск наибольшего и наименьшего значений без построения графика.

Частые ошибки. Прибавляя (b/2)^2, обязательно тут же его вычитайте — иначе значение выражения изменится. Если старший коэффициент не равен единице, сначала вынесите a за скобки у первых двух слагаемых, а уже потом выделяйте квадрат. Следите за знаком свободного члена при свёртке.

Кратко о главном

• Метод приводит трёхчлен к виду a·(x + m)^2 + k.
• Прибавляют и вычитают квадрат половины коэффициента при x.
• Позволяет решать уравнения без дискриминанта.
• Сразу даёт координаты вершины параболы и её наименьшее значение.
• При a ≠ 1 старший коэффициент выносят за скобку.