Дробно-рациональные уравнения

Определение

Дробно-рациональным называют уравнение, которое можно записать как равенство двух рациональных выражений, причём переменная содержится в знаменателе хотя бы одной дроби. Простейший вид такого уравнения — P(x)/Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) — многочлены.

Главная особенность таких уравнений — деление на выражение с переменной. Делить на ноль нельзя, поэтому значения, обращающие знаменатель в ноль, заранее исключают из рассмотрения. Множество остальных значений называют областью допустимых значений (сокращённо ОДЗ).

Условие равенства дроби нулю

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: P(x) = 0 и одновременно Q(x) ≠ 0.

Это правило — основа решения. Сначала находят корни числителя, затем отбрасывают те из них, при которых знаменатель обращается в ноль. Оставшиеся числа и образуют ответ.

Такой подход надёжнее, чем умножение обеих частей уравнения на знаменатель: при умножении легко потерять ограничение и получить лишний корень, который потом придётся вычислять и отбрасывать вручную. Поэтому в школе сначала всегда выписывают область допустимых значений, а уже затем приступают к преобразованиям. Это дисциплинирует решение и спасает от типичной потери ответа.

Общий план решения

1. Найти ОДЗ: приравнять каждый знаменатель к нулю и запомнить «запретные» значения.
2. Привести все дроби к общему знаменателю.
3. Приравнять полученный числитель к нулю и решить это уравнение.
4. Сравнить найденные корни с ОДЗ и отбросить посторонние.

Разобранный пример

(x^2 - 9) / (x - 3) = 0

Знаменатель равен нулю при x = 3 — это значение запрещено, его записываем в ограничения. Теперь числитель: x^2 - 9 = 0, откуда x = 3 или x = -3. Корень x = 3 не входит в ОДЗ, поэтому остаётся единственный ответ x = -3.

Пример с двумя дробями

Рассмотрим уравнение 1/(x - 1) = 2/(x + 1). Перенесём всё в одну часть и приведём к общему знаменателю (x - 1)(x + 1). Числитель примет вид (x + 1) - 2(x - 1) = 0, то есть -x + 3 = 0, откуда x = 3. Значения x = 1 и x = -1 запрещены, а x = 3 в них не входит, значит ответ x = 3. Полезно подставить найденное число в исходное уравнение и убедиться, что обе дроби равны между собой, — это надёжная проверка.

Частые ошибки. Забывают про ОДЗ и записывают в ответ посторонний корень; при умножении обеих частей на знаменатель теряют ограничения; сокращают дробь на множитель с переменной, не оговаривая, что он не равен нулю.

Кратко о главном

• В дробно-рациональном уравнении переменная стоит в знаменателе.
• Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• Сначала находят ОДЗ, затем решают уравнение и проверяют корни.
• Корни, обращающие знаменатель в ноль, — посторонние и в ответ не входят.