Системы уравнений: метод подстановки

Суть метода

Метод подстановки — основной алгебраический способ решения систем уравнений с двумя переменными. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение во второе уравнение системы. В результате получают уравнение с одной переменной, которое уже умеют решать. Метод работает и для линейных систем, и для систем, содержащих уравнение второй степени.

Порядок действий

1. Выбрать уравнение, из которого удобно выразить одну переменную.
2. Выразить, например, y через x.
3. Подставить полученное выражение во второе уравнение.
4. Решить уравнение с одной переменной.
5. Для каждого найденного значения вычислить вторую переменную.
6. Записать все пары решений.

Разобранный пример

{ x + y = 5 { x^2 + y^2 = 13 из первого уравнения: y = 5 - x подставляем во второе: x^2 + (5 - x)^2 = 13 x^2 + 25 - 10·x + x^2 = 13 2·x^2 - 10·x + 12 = 0 x^2 - 5·x + 6 = 0 x_1 = 2, x_2 = 3 y_1 = 5 - 2 = 3 y_2 = 5 - 3 = 2 ответ: (2; 3) и (3; 2)

Шаг	Действие
1	выразить переменную из более простого уравнения
2	подставить выражение во второе уравнение
3	решить уравнение с одной переменной
4	вернуться и найти вторую переменную
5	записать пары решений

Метод особенно удобен, когда одно из уравнений линейное: из него легко выразить переменную без дробей. Если же оба уравнения второй степени, иногда проще применить другой способ — например, сложение или графический метод.

Ещё один пример

Решим систему { y = x + 1; x·y = 6 }. Подставим y = x + 1 во второе уравнение: x·(x + 1) = 6, то есть x^2 + x - 6 = 0. Корни x_1 = 2, x_2 = -3. Тогда y_1 = 3, y_2 = -2. Ответ: пары (2; 3) и (-3; -2).

Геометрический смысл

Каждое уравнение системы с двумя переменными задаёт на координатной плоскости линию. Решение системы — это точки, в которых линии пересекаются. Метод подстановки находит координаты этих точек алгебраически. Например, прямая x + y = 5 и окружность x^2 + y^2 = 13 пересекаются в двух точках, поэтому система имеет два решения. Если линии не пересекаются, система не имеет решений, и при подстановке получится уравнение без корней.

Как выбрать переменную для выражения

Выражать удобнее ту переменную, перед которой стоит коэффициент 1, — тогда не появятся дроби. Если в системе есть линейное уравнение, почти всегда выражают переменную именно из него. Это упрощает дальнейшие вычисления и снижает риск ошибки.

Частые ошибки. Найдя x, не забудьте вычислить соответствующий y — решение системы это пара чисел, а не одно число. Подставляйте найденный x в простое выражение y = 5 - x, а не заново в квадратное уравнение. Следите, чтобы каждому x соответствовал свой y.

Кратко о главном

• Из одного уравнения выражают переменную через другую.
• Выражение подставляют во второе уравнение системы.
• Получают уравнение с одной переменной и решают его.
• Для каждого корня находят вторую переменную.
• Ответ — это пары значений (x; y).