Арифметическая прогрессия

Что такое арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называют разностью прогрессии и обозначают d. Сами члены последовательности обозначают a1, a2, a3 и так далее, а член с произвольным номером — a(n).

Определяющее свойство записывают так: a(n+1) = a(n) + d. Отсюда видно, что разность можно найти как d = a(n+1) - a(n): достаточно из любого члена вычесть предыдущий. Если такая разность одинакова для всех соседних пар, перед нами действительно арифметическая прогрессия.

Прогрессию задают по-разному: перечислением первых членов, формулой члена через его номер или рекуррентно — указанием первого члена и разности. В школьном курсе чаще всего известны именно первый член и разность.

Возрастание и убывание

Если разность положительна (d > 0), прогрессия возрастает; если разность отрицательна (d < 0), прогрессия убывает; при d = 0 все члены равны между собой. Знак разности сразу подсказывает поведение последовательности.

Формула члена с произвольным номером

Чтобы найти любой член, не выписывая все предыдущие, используют формулу члена прогрессии:

a(n) = a1 + (n - 1) · d

Здесь a1 — первый член, n — номер искомого члена, d — разность. Зная любые три из этих четырёх величин, всегда можно найти четвёртую. Например, по двум известным членам легко восстановить разность и первый член.

Характеристическое свойство

Каждый член прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому соседних: a(n) = (a(n-1) + a(n+1)) / 2. Это свойство помогает проверять, является ли заданная последовательность прогрессией, и находить пропущенный член между двумя известными.

Сумма первых членов

Сумму первых n членов обозначают S(n). Есть две равносильные формулы:

S(n) = (a1 + a(n)) / 2 · n и S(n) = (2·a1 + (n - 1)·d) / 2 · n

Первой формулой удобно пользоваться, когда известен последний член, второй — когда известна разность, но неизвестен последний член. Обе формулы дают один и тот же результат, потому что вторая получается из первой подстановкой формулы члена.

Разобранный пример

Пусть первый член равен a1 = 3, а разность d = 4. Найдём десятый член и сумму первых десяти членов.

a10 = 3 + (10 - 1)·4 = 3 + 36 = 39
S10 = (3 + 39)/2 · 10 = 42/2 · 10 = 210

Итак, десятый член равен 39, а сумма первых десяти членов равна 210. Тот же ответ даст и вторая формула суммы: S10 = (2·3 + 9·4)/2 · 10 = (6 + 36)/2 · 10 = 210.

Частые ошибки. Часто берут множитель n вместо (n - 1) в формуле члена; путают разность со знаменателем (знаменатель бывает у геометрической прогрессии); при отрицательной разности забывают, что члены убывают, и теряют знак.

Кратко о главном

• Арифметическая прогрессия задаётся правилом a(n+1) = a(n) + d.
• Разность находят как разность соседних членов.
• Член с номером n вычисляют по формуле a(n) = a1 + (n - 1)·d.
• Сумма первых членов: S(n) = (a1 + a(n))/2 · n.
• Каждый средний член равен среднему арифметическому соседей.