Дробно-линейная функция и её график

Дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция — это функция вида y = (ax + b)/(cx + d), где c ≠ 0 и определитель ad − bc ≠ 0. Условие c ≠ 0 гарантирует, что в знаменателе действительно есть переменная, а условие на определитель — что дробь нельзя сократить до постоянной. Её график — гипербола, сдвинутая относительно осей координат. По сути это обобщение знакомой функции обратной пропорциональности y = k/x.

Чтобы понять поведение такой функции, удобно представлять её как уже изученную гиперболу y = k/x, которую передвинули по плоскости. Все привычные свойства гиперболы при этом сохраняются, меняется лишь положение её центра и асимптот.

Приведение к удобному виду

Выделив целую часть дроби (поделив числитель на знаменатель), функцию записывают в виде y = k/(x − m) + n. Тогда сразу видны сдвиги: на m по горизонтали и на n по вертикали. Прямые x = m и y = n — это асимптоты, то есть линии, к которым график неограниченно приближается, но никогда их не касается и не пересекает.

Выделение целой части — ключевой технический шаг. Делается оно так же, как деление многочленов уголком: числитель раскладывают на часть, кратную знаменателю, и остаток. После этого структура функции становится полностью прозрачной.

Разобранный пример

Дано: y = (2x + 1)/(x − 1).

Выделим целую часть: y = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1).

Значит график — гипербола y = 3/x, сдвинутая на 1 вправо и на 2 вверх.

Асимптоты: x = 1 и y = 2. Область определения: все числа, кроме x = 1.

Частые ошибки. Забывают исключить из области определения точку, где знаменатель равен нулю. Путают направление сдвига (вправо при x − m). Не указывают горизонтальную асимптоту. Считают, что график пересекает асимптоты.

Свойства графика

• Две ветви, расположенные в разных частях относительно асимптот.
• Центр симметрии — точка пересечения асимптот (m; n).
• Множество значений — все числа, кроме n.
• Знак коэффициента k определяет, в каких четвертях относительно центра лежат ветви.

Чтобы построить график, обычно поступают так: проводят пунктиром обе асимптоты, отмечают центр симметрии, а затем наносят несколько контрольных точек по обе стороны от вертикальной асимптоты. Соединив их плавными линиями, получают две ветви гиперболы. Такой порядок действий делает построение быстрым и аккуратным.

Кратко о главном

• Дробно-линейная функция имеет вид y = (ax + b)/(cx + d).
• Её приводят к виду y = k/(x − m) + n.
• Прямые x = m и y = n — асимптоты гиперболы.
• Из области определения исключают корень знаменателя.
• График симметричен относительно центра (m; n).