Решение задач на смеси, сплавы и концентрацию
📐 Алгебра · 9 класс
Что такое концентрация
Концентрация (доля вещества) показывает, какую часть всей смеси составляет нужное вещество. Если в смеси массой m содержится m_в чистого вещества, то концентрация равна c = m_в / m. Её выражают либо обыкновенной дробью, либо процентами. Например, концентрация 20% означает долю 0,2.
Отсюда масса чистого вещества равна m_в = c·m. Это ключевая формула для составления уравнений в задачах на смеси и сплавы.
Принцип сохранения вещества
При смешивании двух растворов масса чистого вещества сохраняется: количество вещества в первом растворе плюс количество во втором равно количеству в полученной смеси. На этом балансе и строят уравнение.
| Раствор | Масса | Концентрация | Чистое вещество |
|---|---|---|---|
| первый | m_1 | c_1 | c_1·m_1 |
| второй | m_2 | c_2 | c_2·m_2 |
| смесь | m_1 + m_2 | c | c·(m_1 + m_2) |
Разобранный пример
Смешали 200 г раствора с концентрацией соли 10% и 300 г раствора с концентрацией 20%. Какова концентрация соли в полученной смеси?
чистая соль в первом: 0,10 · 200 = 20 г
чистая соль во втором: 0,20 · 300 = 60 г
всего соли: 20 + 60 = 80 г
масса смеси: 200 + 300 = 500 г
концентрация: 80 / 500 = 0,16 = 16%
ответ: 16%
Задача с неизвестной массой
Часто неизвестно, сколько раствора нужно взять. Тогда искомую массу обозначают x и выражают через неё количество вещества. Например: «Сколько граммов воды добавить к 100 г раствора с концентрацией 40%, чтобы получить раствор с концентрацией 25%?» Уравнение строят по балансу чистого вещества: соли в воде нет, поэтому её количество не меняется.
соли было: 0,40 · 100 = 40 г
после добавления x г воды масса смеси: 100 + x
0,25 · (100 + x) = 40
25 + 0,25·x = 40
0,25·x = 15 → x = 60 г
Сплавы
Задачи на сплавы решают по той же схеме: вместо концентрации соли рассматривают долю металла (например, золота в сплаве). Уравнение строят по балансу массы чистого металла до и после переплавки. При сплавлении двух кусков масса каждого металла складывается, а общая масса сплава равна сумме масс кусков.
Удобный приём оформления
Чтобы не запутаться, по условию задачи заполняют таблицу: для каждого раствора или сплава записывают его массу, концентрацию и массу чистого вещества. Затем составляют уравнение баланса: сумма масс чистого вещества в исходных растворах равна массе вещества в смеси. Такой подход универсален и подходит и для растворов, и для сплавов, и для подмешивания воды или чистого металла.
Высушивание и испарение
Существуют задачи, где из раствора испаряют воду. При этом масса чистого вещества не меняется, а общая масса уменьшается, поэтому концентрация растёт. Уравнение снова строят по неизменной массе вещества: c_1·m_1 = c_2·m_2, где m_2 — масса после испарения.
Частые ошибки. Складывать можно массы вещества и общие массы, но не концентрации: концентрация смеси не равна сумме концентраций. Проценты перед умножением переводите в доли, разделив на 100. При добавлении чистой воды масса вещества не меняется, а общая масса растёт.
Кратко о главном
- Концентрация — это доля вещества:
c = m_в / m. - Масса чистого вещества:
m_в = c·m. - При смешивании сохраняется масса чистого вещества.
- Концентрации не складывают — складывают массы вещества.
- Сплавы решают по балансу массы чистого металла.