Теорема Безу и поиск корней многочлена

Теорема Безу

Теорема Безу утверждает: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен значению этого многочлена в точке a, то есть равен P(a). Это очень удобно: чтобы узнать остаток, не нужно выполнять длинное деление уголком — достаточно подставить число вместо переменной и вычислить.

Объясняется теорема просто. По определению деления верно равенство P(x) = (x − a)·Q(x) + R, где остаток R — число, ведь его степень меньше степени двучлена. Подставив x = a, получаем P(a) = (a − a)·Q(a) + R = R. Значит остаток в точности равен значению многочлена в точке a.

Прямое следствие: число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на x − a без остатка. Это утверждение называют следствием из теоремы Безу, и именно оно связывает корни уравнения с разложением на множители. Каждому корню соответствует свой линейный множитель.

Как искать рациональные корни

Если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень, то он обязательно является делителем свободного члена. Поэтому корни подбирают не наугад, а перебирая делители свободного члена с обоими знаками. Это резко сокращает перебор.

Разобранный пример

Проверим, делится ли P(x) = x^3 − 6x^2 + 11x − 6 на x − 1.

P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0

Остаток равен нулю, значит x = 1 — корень и P(x) делится на (x − 1).

После деления: P(x) = (x − 1)(x^2 − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).

Так уравнение третьей степени полностью разложено, его корни: 1, 2, 3. Обрати внимание на удобную схему работы: сначала подбором находим один корень, затем делим многочлен уголком на соответствующий двучлен и получаем квадратный трёхчлен, который решается уже по дискриминанту или теореме Виета.

Если перебор делителей не дал ни одного корня, это означает, что рациональных корней у многочлена нет, и нужно искать другие способы — например, графический метод или замену переменной. Теорема Безу не гарантирует наличие корней, она лишь даёт быстрый способ их проверки.

Частые ошибки. Подставляют a с неверным знаком: для делителя x + 3 корень равен −3, а не 3. Ищут корни среди чисел, не делящих свободный член. Забывают, что не у каждого многочлена есть рациональные корни. Останавливаются на первом найденном корне, хотя их может быть несколько.

Где применяется

• Понижение степени уравнения после нахождения одного корня.
• Разложение многочлена на множители для сокращения дробей.
• Быстрая проверка делимости без длинного деления уголком.
• Доказательство, что данное число является или не является корнем.

В итоге теорема Безу превращает задачу о корнях в задачу о подстановке чисел, а задачу о делимости — в одно простое вычисление. Это делает её одним из самых полезных инструментов при работе с многочленами.

Кратко о главном

• Остаток от деления P(x) на x − a равен P(a).
• Число a — корень, если P(a) = 0; тогда есть множитель x − a.
• Целые корни ищут среди делителей свободного члена.
• Знак корня противоположен свободному члену двучлена.
• Теорема Безу упрощает разложение и решение уравнений высоких степеней.