Метод интервалов
📐 Алгебра · 9 класс
Суть метода
Метод интервалов — универсальный способ решения неравенств, в которых одна часть представлена в виде произведения или частного множителей, а другая равна нулю. Идея метода в том, что такое выражение меняет знак только при переходе через нули множителей, а внутри каждого промежутка знак постоянен.
Метод применяют к неравенствам вида (x - x1)(x - x2)...(x - xn) > 0 и к дробно-рациональным неравенствам, где числитель и знаменатель разложены на множители. Это делает метод намного шире, чем решение только квадратных неравенств.
Порядок действий
- Перенести всё в одну часть, чтобы справа оказался ноль.
- Разложить выражение на множители вида
(x - корень). - Отметить корни на числовой прямой; нули знаменателя обозначить выколотыми (светлыми) точками.
- Определить знак выражения на каждом промежутке.
- Выбрать промежутки, отвечающие знаку неравенства.
Чередование знаков
Если все множители входят в первой степени, знаки на соседних промежутках чередуются. Знак на самом правом промежутке всегда совпадает со знаком при старшей степени переменной (обычно это плюс). Зная знак справа, легко расставить остальные, двигаясь влево.
Разобранный пример
(x - 1)(x + 2) < 0Корни: x = 1 и x = -2. Отметим их на прямой в порядке возрастания. Справа от обоих корней выражение положительно, затем знаки чередуются: на промежутке между корнями оно отрицательно, а левее снова положительно. Нам нужен знак «минус», поэтому ответ: -2 < x < 1.
Пример с дробью
Для неравенства (x - 1)/(x + 3) ≥ 0 отмечаем x = 1 закрашенной точкой (знак нестрогий, числитель может быть нулём), а x = -3 — выколотой точкой (знаменатель не может быть нулём). Расставив знаки, получаем ответ x < -3 или x ≥ 1. Обратите внимание: тип точки зависит от того, к числителю или знаменателю относится корень, а также от строгости знака неравенства. Числитель при нестрогом знаке может обращаться в ноль, а знаменатель — никогда.
Множители чётной степени
Если множитель входит в чётной степени, например (x - 2)^2, то при переходе через такой корень знак выражения не меняется. Подобный корень всё равно отмечают на прямой, но учитывают, что слева и справа от него знак одинаков. Это частый источник ошибок, поэтому степень каждого множителя проверяют отдельно.
| Промежуток | Знак выражения (для первого примера) |
|---|---|
x < -2 | плюс |
-2 < x < 1 | минус |
x > 1 | плюс |
Частые ошибки. Нули знаменателя ошибочно отмечают закрашенными точками (их нельзя включать в ответ); забывают про чётную степень множителя — при ней знак не меняется; неверно располагают корни по возрастанию на прямой; путают чередование знаков.
Кратко о главном
- Метод интервалов работает, когда справа ноль, а слева — произведение или дробь.
- Корни множителей делят прямую на промежутки.
- Нули знаменателя всегда выколоты.
- При множителях первой степени знаки чередуются.
- В ответ выбирают промежутки с нужным знаком.