Решение биквадратных уравнений

Что такое биквадратное уравнение

Биквадратным называют уравнение вида a·x^4 + b·x^2 + c = 0, где a ≠ 0. В нём присутствуют только чётные степени переменной — четвёртая и вторая — и свободный член. Несмотря на четвёртую степень, такое уравнение легко сводится к квадратному при помощи замены переменной.

Слово «биквадратное» означает «дважды квадратное»: если ввести новую переменную, уравнение становится обычным квадратным.

Метод замены

Введём новую переменную t = x^2. Тогда x^4 = (x^2)^2 = t^2, и уравнение принимает вид a·t^2 + b·t + c = 0. Очень важное ограничение: поскольку t = x^2, переменная t не может быть отрицательной, то есть всегда t ≥ 0. Отрицательные значения t придётся отбросить.

1. Заменить x^2 на t, записать условие t ≥ 0.
2. Решить квадратное уравнение относительно t.
3. Отбросить отрицательные значения t.
4. Для каждого подходящего t найти x = ±√t.
5. Записать все корни.

Разобранный пример

x^4 - 5·x^2 + 4 = 0 замена: t = x^2, t ≥ 0 t^2 - 5·t + 4 = 0 по теореме Виета: t_1 = 1, t_2 = 4 (оба ≥ 0, подходят) x^2 = 1 → x = ±1 x^2 = 4 → x = ±2 ответ: -2; -1; 1; 2

Сколько корней может быть

Значения t	Число корней x
оба положительные	4 корня
один положительный, один отрицательный	2 корня
один равен нулю, другой положительный	3 корня
оба отрицательные	корней нет
D < 0 у квадратного по t	корней нет

Ещё один пример

Решим x^4 - 3·x^2 - 4 = 0. После замены: t^2 - 3·t - 4 = 0, корни t_1 = 4 и t_2 = -1. Отрицательное значение t_2 = -1 отбрасываем. Остаётся x^2 = 4, то есть x = ±2. Ответ: -2 и 2.

Почему важно условие неотрицательности

Поскольку x^2 — это квадрат действительного числа, он никогда не бывает отрицательным. Поэтому уравнение x^2 = -1 не имеет действительных корней, и значение t = -1 не даёт ни одного корня x. Именно из-за этого ограничения биквадратное уравнение может иметь четыре, три, два корня или не иметь их вовсе, хотя степень уравнения четвёртая. Полезно сразу после нахождения значений t отметить, какие из них неотрицательны, и работать только с ними. Если же квадратное уравнение относительно t вовсе не имеет корней, то и биквадратное уравнение корней не имеет.

Частые ошибки. Главная ошибка — забыть условие t ≥ 0 и взять корень из отрицательного t. Вторая ошибка — для положительного t взять только один знак: каждый положительный корень t даёт два значения x с разными знаками. Третья — назвать в ответе значения t вместо x.

Кратко о главном

• Биквадратное уравнение: a·x^4 + b·x^2 + c = 0.
• Замена t = x^2 при условии t ≥ 0 сводит его к квадратному.
• Отрицательные значения t отбрасывают.
• Каждый положительный t даёт два корня x = ±√t.
• В ответе записывают значения x, а не t.