Неравенства с двумя переменными

Что такое неравенство с двумя переменными

Неравенством с двумя переменными называют запись вида F(x, y) > 0 (а также со знаками <, ≥, ≤), где x и y — переменные. Решением такого неравенства служит пара чисел (x; y), которая обращает его в верное числовое неравенство. Например, для неравенства y > 2x пара (1; 5) является решением, потому что 5 > 2·1 — верно, а пара (1; 1) решением не является.

Множество всех решений удобно изображать на координатной плоскости. Обычно это целая область — часть плоскости, а не отдельные точки. Поэтому ответ к таким неравенствам — это не число, а закрашенная фигура (полуплоскость, круг, часть плоскости между кривыми).

Геометрический смысл

Уравнение F(x, y) = 0 задаёт некоторую линию: прямую, параболу, окружность и тому подобное. Эта линия делит плоскость на области. Важное свойство: внутри каждой такой области знак выражения F(x, y) сохраняется постоянным. Поэтому достаточно проверить одну пробную точку из области, чтобы узнать знак во всей этой области.

Это сильно упрощает работу: вместо проверки бесконечного множества точек мы берём всего одну удобную точку на каждую область.

Как решать графически

1. Заменить знак неравенства на «равно» и построить граничную линию.
2. Линию провести сплошной при знаках ≥, ≤ (точки границы входят в ответ) и пунктирной при строгих >, < (точки границы не входят).
3. Выбрать пробную точку вне линии (часто удобна точка (0; 0), если она не лежит на границе) и подставить её координаты в неравенство.
4. Если получилось верное неравенство — закрасить ту полуплоскость, где лежит точка; иначе — противоположную.

Неравенство	Граница	Вид линии	Что закрашиваем
y > 2x + 1	прямая	пунктир	выше прямой
x^2 + y^2 ≤ 9	окружность R = 3	сплошная	круг внутри
y ≤ x^2	парабола	сплошная	под параболой
x − y ≥ 0	прямая y = x	сплошная	ниже прямой

Разбор одного неравенства

Изобразим решения неравенства y < −x + 3:

1) граница: прямая y = −x + 3, через (0; 3) и (3; 0) 2) знак строгий ⇒ прямая пунктирная 3) пробная точка (0; 0): 0 < −0 + 3, то есть 0 < 3 — верно 4) закрашиваем полуплоскость, где лежит (0; 0), то есть ниже прямой

Системы неравенств

Решением системы является пересечение множеств решений всех неравенств — общая закрашенная часть плоскости. Каждое неравенство строят отдельно, а затем оставляют ту область, где штриховки накладываются друг на друга. Если общей части нет, система решений не имеет.

Разберём пример системы:

{ y ≥ x − 1 x^2 + y^2 ≤ 4 }

Первое неравенство даёт полуплоскость выше прямой y = x − 1, второе — круг радиуса 2 с центром в начале координат. Ответ — часть круга, лежащая выше прямой. Граница входит в ответ в обоих случаях, поэтому обе линии сплошные.

Частые ошибки. Забывают про вид линии: при строгом знаке граница не входит в ответ и рисуется пунктиром. Ещё путают полуплоскости, если пробная точка лежит на самой границе — тогда брать её нельзя, нужна другая точка. И наконец, при решении системы закрашивают объединение областей вместо пересечения.

Кратко о главном

• Решение неравенства с двумя переменными — это область на плоскости.
• Граничная линия задаётся уравнением F(x, y) = 0: сплошная при нестрогом знаке, пунктирная при строгом.
• Нужную полуплоскость определяют по пробной точке.
• Система — это пересечение областей, то есть общая штриховка.