Целые уравнения и их корни

Целые уравнения

Целым уравнением с одной переменной называют уравнение, обе части которого являются целыми выражениями, то есть переменная нигде не стоит в знаменателе и под знаком корня. После раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и переноса всех членов в одну часть его записывают в стандартном виде P(x) = 0, где P(x) — многочлен. Степенью уравнения называют степень этого многочлена после упрощения.

Сколько корней может быть

Важное утверждение: целое уравнение степени n имеет не более n корней. Например, линейное уравнение (первая степень) имеет не более одного корня, квадратное — не более двух, уравнение третьей степени — не более трёх. Это помогает заранее оценить, сколько решений искать, и проверить, не потеряны ли корни.

Основные способы решения

• Разложение на множители. Выносят общий множитель за скобку или применяют формулы сокращённого умножения, после чего приравнивают каждый множитель к нулю.
• Введение новой переменной. Если в уравнении повторяется одно и то же выражение, его обозначают новой буквой и сводят уравнение к более простому, чаще к квадратному.

Разобранный пример

Решим уравнение x^3 - 4*x = 0 разложением на множители. Сначала вынесем общий множитель x за скобку:

x * (x^2 - 4) = 0.

В скобке стоит разность квадратов, разложим её по формуле:

x * (x - 2) * (x + 2) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Приравняем к нулю каждый из них и получим корни: x = 0, x = 2, x = -2. Получилось ровно три корня — столько и допускает уравнение третьей степени.

Пример с заменой переменной

В уравнении x^4 - 5*x^2 + 4 = 0 (его называют биквадратным) удобно сделать замену t = x^2. Тогда получаем квадратное уравнение t^2 - 5*t + 4 = 0 с корнями t = 1 и t = 4. Возвращаясь к переменной x, находим x = 1; x = -1; x = 2; x = -2.

Проверка и отбор корней

После нахождения корней целого уравнения их полезно проверить подстановкой в исходное уравнение — это помогает заметить арифметическую ошибку. Особенно внимательным нужно быть при делении обеих частей на выражение с переменной: так можно потерять корень. Например, в уравнении x^3 - 4*x = 0 деление на x убрало бы корень x = 0. Поэтому вместо деления применяют разложение на множители, при котором ни один корень не теряется. Эти аккуратные приёмы — основа правильного решения целых уравнений.

Частые ошибки. Делят обе части на x и теряют корень x = 0; неверно применяют формулу разности квадратов; забывают приравнять к нулю каждый множитель.

Кратко о главном

• Целое уравнение приводят к виду P(x) = 0.
• Степень уравнения — это степень многочлена P(x).
• Корней не больше, чем степень уравнения.
• Главные приёмы решения — разложение на множители и замена переменной.