Характеристики числового ряда: среднее, мода, медиана, размах
📐 Алгебра · 9 класс
Зачем нужны характеристики ряда
Чтобы коротко описать набор числовых данных, используют статистические характеристики. Главные из них — среднее арифметическое, мода, медиана и размах. Каждая отражает свою сторону ряда: где находится его «центр» и насколько сильно разбросаны данные.
Определения
- Среднее арифметическое — сумма всех чисел, делённая на их количество.
- Мода — значение, встречающееся в ряду чаще всего.
- Медиана — серединное число упорядоченного ряда.
- Размах — разность наибольшего и наименьшего значений.
Среднее, мода и медиана описывают «центр» данных, а размах — их разброс. У ряда может быть несколько мод или не быть моды вовсе, если все значения различны.
Как находить медиану
Сначала ряд обязательно упорядочивают по возрастанию. Если чисел нечётное количество — медиана это среднее по счёту число. Если чётное — медиана равна полусумме двух центральных чисел.
| Характеристика | Что показывает | Формула / правило |
|---|---|---|
| среднее | «типичный уровень» | (сумма) : (количество) |
| мода | самое частое значение | наибольшая частота |
| медиана | центр ряда | серединное число |
| размах | разброс данных | max − min |
Пример с нечётным числом данных
Дан ряд оценок: 3, 5, 4, 5, 2, 5, 4. Найдём все характеристики.
Упорядочим: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5
Сумма = 28, чисел 7
Среднее = 28 : 7 = 4
Мода = 5 (встречается 3 раза)
Медиана = 4 (четвёртое из семи)
Размах = 5 − 2 = 3
Пример с чётным числом данных
Дан ряд: 10, 12, 15, 19. Чисел четыре — значит, медиана равна полусумме двух центральных значений.
Ряд уже упорядочен: 10, 12, 15, 19
Центральные числа — 12 и 15
Медиана = (12 + 15) : 2 = 13,5
Среднее = (10 + 12 + 15 + 19) : 4 = 14
Размах = 19 − 10 = 9
Обратите внимание: среднее и медиана здесь не совпадают — это нормально, ведь они описывают центр по-разному.
Когда что применять
Среднее арифметическое чувствительно к «выбросам» — резко выделяющимся значениям. Если в ряду зарплат есть одна очень большая, среднее заметно вырастет, хотя у большинства зарплата невелика. В таких случаях медиана описывает «типичного» представителя точнее, ведь на неё крайние значения почти не влияют.
Поясним на примере ряда: 10, 12, 14, 16, 100.
Среднее = (10 + 12 + 14 + 16 + 100) : 5 = 30,4
Медиана = 14 (центральное из пяти)
Размах = 100 − 10 = 90
Здесь среднее 30,4 больше четырёх из пяти значений — его «вытянул» вверх выброс 100. А медиана 14 честно показывает середину данных.
Частые ошибки. Забывают упорядочить ряд перед поиском медианы — без этого центральное число определить нельзя. Также путают моду (самое частое значение) с медианой (центральным значением).
Кратко о главном
- Среднее — сумма, делённая на количество чисел.
- Мода — самое частое значение, медиана — центр упорядоченного ряда.
- При чётном числе данных медиана — полусумма двух центральных чисел.
- Размах — разность между наибольшим и наименьшим числами.