Графический способ решения систем уравнений
📐 Алгебра · 9 класс
Графический способ решения систем
Решить систему уравнений — значит найти все пары значений переменных, которые одновременно обращают каждое уравнение системы в верное равенство. При графическом способе в одной координатной плоскости строят графики всех уравнений системы, а решениями считают координаты точек, в которых эти графики пересекаются. Этот способ особенно нагляден, когда среди уравнений есть не только прямые, но и параболы или окружности.
Идея метода
Каждое уравнение с двумя переменными задаёт на плоскости некоторую линию: линейное уравнение — прямую, уравнение вида y = a*x^2 + b*x + c — параболу, уравнение x^2 + y^2 = r^2 — окружность. Точка, которая принадлежит сразу обоим графикам, удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому её координаты и являются решением системы. Если общих точек у графиков нет, то и решений у системы нет.
Число решений системы равно числу общих точек её графиков.
Сколько решений может быть
| Расположение графиков | Число решений |
|---|---|
| Пересекаются в точках | Столько, сколько точек пересечения |
| Касаются | Одно |
| Не имеют общих точек | Нет решений |
Порядок действий
- Каждое уравнение привести к виду, удобному для построения графика.
- Построить все графики в одной системе координат.
- Отметить точки пересечения и определить их координаты.
- Записать ответ в виде пар
(x; y).
Разобранный пример
Решим систему графически: y = x^2 и y = x + 2. Первый график — парабола с вершиной в начале координат, второй — прямая. Чтобы точно найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:
x^2 = x + 2, то есть x^2 - x - 2 = 0.
Решая это квадратное уравнение, получаем x = 2 или x = -1. Найдём соответствующие значения y: при x = 2 получаем y = 4; при x = -1 получаем y = 1. Значит, графики пересекаются в точках (2; 4) и (-1; 1) — это и есть два решения системы.
Достоинства и ограничения способа
Главное достоинство графического способа — наглядность: по рисунку сразу видно, сколько у системы решений и как они примерно расположены. Это особенно полезно, когда нужно лишь оценить число корней. Однако у способа есть и слабое место: координаты точек пересечения по чертежу определяются приближённо, ведь идеально точно построить график от руки невозможно. Поэтому, если в ответе требуются точные значения, графический способ используют для оценки, а затем подтверждают результат алгебраически, как и было сделано в примере выше через уравнение x^2 - x - 2 = 0.
Частые ошибки. Неточно строят графики и потому считывают неверные координаты; забывают, что графический способ даёт лишь приближённый ответ; записывают только одну координату точки вместо пары.
Кратко о главном
- Решения системы — это координаты общих точек её графиков.
- Число решений равно числу точек пересечения.
- Способ нагляден, но часто даёт приближённый результат.
- Для точного ответа итог проверяют подстановкой или алгебраическим способом.