Наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции

Вершина параболы — ключ к экстремуму

График квадратичной функции y = ax^2 + bx + c — это парабола. Её вершина определяет наибольшее или наименьшее значение функции на всей числовой прямой. Абсцисса вершины находится по формуле:

x_0 = −b / (2a)

Подставив x_0 в функцию, получают ординату вершины y_0 — это и есть искомое экстремальное значение функции. Других кандидатов на наибольшее или наименьшее значение у параболы нет.

Когда минимум, а когда максимум

• Если a > 0, ветви параболы направлены вверх — в вершине достигается наименьшее значение, а наибольшего нет.
• Если a < 0, ветви направлены вниз — в вершине достигается наибольшее значение, а наименьшего нет.

Промежутки монотонности

Вершина делит область определения на два промежутка, на каждом из которых функция ведёт себя по-разному.

Знак a	До x_0	После x_0	В вершине
a > 0	убывает	возрастает	наименьшее y
a < 0	возрастает	убывает	наибольшее y

Пример на минимум

Найдём наименьшее значение функции y = x^2 − 6x + 11:

a = 1 > 0 ⇒ ищем минимум x_0 = −b/(2a) = 6/2 = 3 y_0 = 3^2 − 6·3 + 11 = 9 − 18 + 11 = 2 Вершина (3; 2) Наименьшее значение y = 2 при x = 3 Убывает на (−∞; 3], возрастает на [3; +∞)

Тот же результат даёт выделение полного квадрата: y = (x − 3)^2 + 2, где сразу видно, что минимум 2 достигается при x = 3, ведь квадрат не меньше нуля.

Пример на максимум

Найдём наибольшее значение функции y = −x^2 + 4x + 1:

a = −1 < 0 ⇒ ищем максимум x_0 = −b/(2a) = −4/(−2) = 2 y_0 = −2^2 + 4·2 + 1 = −4 + 8 + 1 = 5 Наибольшее значение y = 5 при x = 2 Возрастает на (−∞; 2], убывает на [2; +∞)

Область значений функции

Зная вершину и направление ветвей, легко записать область значений квадратичной функции. При a > 0 функция принимает все значения, не меньшие y_0, поэтому область значений — это [y_0; +∞). При a < 0 наоборот — все значения, не большие y_0, то есть (−∞; y_0].

Так, для функции y = x^2 − 6x + 11 с вершиной (3; 2) область значений равна [2; +∞): меньше двойки функция не опускается.

Где это применяют

Поиск наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции нужен в задачах на оптимизацию: например, при каком размере участка площадь будет наибольшей, или при какой цене выручка максимальна. Условие сводят к квадратичной функции, а затем находят вершину параболы.

Частые ошибки. Путают, где минимум, а где максимум: при a > 0 вершина — это низшая точка (минимум). Ещё забывают подставить x_0 обратно в функцию и ошибочно оставляют ответом саму абсциссу вершины вместо значения функции.

Кратко о главном

• Абсцисса вершины: x_0 = −b / (2a).
• При a > 0 в вершине наименьшее значение, при a < 0 — наибольшее.
• Экстремальное значение y_0 получают подстановкой x_0 в функцию.
• Парабола меняет монотонность ровно в вершине.