Задачи на проценты и банковские вклады

Проценты и банковские вклады

Процент — это сотая часть числа. Один процент от величины — это её значение, делённое на сто. Чтобы найти несколько процентов от числа, его умножают на соответствующую долю: например, найти 15 процентов означает умножить на 0,15. Задачи на вклады описывают рост суммы денег под действием процентной ставки за один или несколько периодов, поэтому проценты в них применяют многократно.

Главный приём, упрощающий все такие задачи, — переход от процентов к коэффициентам. Увеличение величины на p процентов равносильно умножению на множитель (1 + p/100). Если действий несколько, эти множители просто перемножаются, и громоздкие рассуждения превращаются в короткое вычисление.

Простые и сложные проценты

При простых процентах начисление каждый период считают от первоначальной суммы. При сложных процентах проценты начисляют на сумму вместе с уже начисленными ранее процентами, поэтому рост ускоряется.

Здесь S_0 — начальный вклад, p — процент за период, n — число периодов.

Разобранный пример

Вклад 10000 рублей под 10% годовых, сложные проценты, на 2 года.

Через год: 10000·1,1 = 11000.

Через два года: 11000·1,1 = 12100.

По формуле: S = 10000·(1,1)^2 = 12100 рублей.

При простых процентах было бы 10000·(1 + 0,1·2) = 12000 рублей.

На примере хорошо видно, чем сложные проценты отличаются от простых: при сложных процентах за второй год начисление идёт уже не с десяти тысяч, а с одиннадцати, поэтому итог больше. Чем больше периодов и выше ставка, тем заметнее этот разрыв. Именно так работают банковские вклады с капитализацией процентов.

Частые ошибки. Путают простые и сложные проценты. Берут процент от неверной базы — например, считают скидку и наценку от одного и того же числа. Складывают проценты за разные годы как обычные числа вместо умножения коэффициентов. Забывают переводить процент в долю делением на сто.

Полезные приёмы

• Увеличение на p% — умножение на (1 + p/100).
• Уменьшение на p% — умножение на (1 − p/100).
• Несколько изменений подряд — перемножение коэффициентов.

Полезно помнить, что повышение, а затем понижение на одно и то же число процентов не возвращает исходную величину. Если цену сначала подняли на 20 процентов, а потом снизили на 20 процентов, итог окажется меньше начального, потому что второй процент считается уже от увеличенной суммы. Через коэффициенты это видно сразу: 1,2 · 0,8 = 0,96, то есть осталось 96 процентов начальной цены.

Кратко о главном

• Процент — это сотая часть числа.
• Простые проценты начисляют от начальной суммы.
• Сложные проценты начисляют на сумму с прошлыми процентами.
• Сложный рост: S = S_0·(1 + p/100)^n.
• Последовательные изменения учитывают перемножением коэффициентов.