Квадратичная функция и её график

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называют функцию вида y = a*x^2 + b*x + c, где a, b и c — заданные числа, причём старший коэффициент a не равен нулю. Графиком любой квадратичной функции является парабола. Коэффициент a называют старшим, b — вторым (средним), а c — свободным членом. Простейший случай — функция y = x^2, график которой проходит через начало координат.

Направление ветвей и вершина

Старший коэффициент задаёт форму параболы. Если a > 0, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение в самой нижней точке. Если a < 0, ветви направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение. Чем больше модуль a, тем уже («круче») парабола.

Самую важную точку — вершину параболы — находят по формулам. Сначала вычисляют абсциссу, а затем подставляют её в функцию.

x_v = -b / (2*a), после чего y_v находят, подставив x_v в выражение функции.

Вертикальная прямая x = x_v является осью симметрии параболы: левая и правая ветви расположены зеркально относительно неё.

Связь с дискриминантом

Число точек пересечения параболы с осью x совпадает с числом корней уравнения a*x^2 + b*x + c = 0 и определяется знаком дискриминанта D = b^2 - 4*a*c.

Разобранный пример

Построим график функции y = x^2 - 4*x + 3.

Найдём абсциссу вершины: x_v = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2.

Найдём ординату: y_v = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.

Значит, вершина расположена в точке (2; -1), ветви направлены вверх, так как a = 1 > 0. Нули функции находим из уравнения x^2 - 4*x + 3 = 0: это x = 1 и x = 3. Точка пересечения с осью y при x = 0 даёт y = 3. По этим точкам и оси симметрии x = 2 легко построить параболу.

План построения графика

1. Определить направление ветвей по знаку a.
2. Найти координаты вершины.
3. Найти нули функции и точку пересечения с осью y.
4. Провести ось симметрии и плавно соединить точки.

Связь с простейшей параболой

Любую квадратичную функцию можно получить из простейшей y = x^2 с помощью преобразований графика: растяжения или сжатия (за это отвечает коэффициент a) и сдвигов вдоль осей. Если выделить полный квадрат, функцию записывают в виде y = a*(x - x_v)^2 + y_v. В этой записи сразу видны координаты вершины (x_v; y_v): график y = x^2 сдвинут на x_v по горизонтали и на y_v по вертикали. Такая форма особенно удобна для быстрого построения графика без дополнительных вычислений.

Частые ошибки. Теряют минус в формуле вершины; не подставляют x_v для поиска y_v; путают направление ветвей при знаке a.

Кратко о главном

• Квадратичная функция: y = a*x^2 + b*x + c, её график — парабола.
• Знак старшего коэффициента a задаёт направление ветвей.
• Абсцисса вершины: x_v = -b / (2*a); прямая x = x_v — ось симметрии.
• Число точек пересечения с осью x зависит от знака дискриминанта.