Неравенства второй степени с одной переменной

Что это такое

Неравенством второй степени с одной переменной называют неравенство вида ax^2 + bx + c > 0 (или со знаками <, ≥, ≤), где старший коэффициент a ≠ 0. Решить такое неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно становится верным.

В основе решения лежит график квадратичной функции y = ax^2 + bx + c — это парабола. Знак выражения зависит от того, выше или ниже оси абсцисс находится соответствующая точка параболы. Там, где парабола выше оси, выражение положительно; где ниже — отрицательно.

Роль дискриминанта и ветвей

Сначала находят корни уравнения ax^2 + bx + c = 0 через дискриминант D = b^2 - 4ac. Корни показывают, где парабола пересекает горизонтальную ось. Направление ветвей определяет знак коэффициента a: при a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.

Разобранный пример

x^2 - 5x + 6 > 0

Найдём корни: уравнение x^2 - 5x + 6 = 0 даёт x = 2 и x = 3. Ветви параболы направлены вверх, потому что старший коэффициент равен единице. Значит выражение положительно вне корней. Ответ: x < 2 или x > 3.

Если бы знак неравенства был < 0, нас интересовала бы часть параболы ниже оси, и ответом стал бы промежуток между корнями: 2 < x < 3. А при нестрогом знаке ≤ 0 в ответ вошли бы и сами корни: 2 ≤ x ≤ 3.

Случай без корней

Если дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось и целиком лежит по одну сторону от неё. Например, для x^2 + x + 1 > 0 дискриминант отрицателен, ветви вверх, поэтому выражение положительно при любом значении переменной — неравенство верно для всех чисел. Если бы в этом случае стоял знак < 0, неравенство не имело бы решений вовсе: парабола нигде не опускается ниже оси. Поэтому случай отрицательного дискриминанта стоит разбирать особенно внимательно, проверяя направление ветвей и знак неравенства.

Правило. При ветвях вверх выражение отрицательно между корнями и положительно вне корней. При ветвях вниз — наоборот. Нестрогое неравенство (≥ или ≤) включает сами корни, строгое — не включает.

Частые ошибки. Не учитывают направление ветвей; путают, где выражение положительно, а где отрицательно; забывают включать или исключать концы промежутка в зависимости от строгости знака; не рассматривают случай, когда корней нет.

Кратко о главном

• Неравенство второй степени решают, опираясь на параболу.
• Корни уравнения делят числовую прямую на промежутки.
• Знак старшего коэффициента задаёт направление ветвей и знак выражения вне корней.
• В нестрогом неравенстве корни входят в ответ.
• При отрицательном дискриминанте выражение сохраняет один знак на всей прямой.