Среднее арифметическое, геометрическое и неравенство между ними

Средние величины

Среднее двух положительных чисел — это число, которое в определённом смысле находится между ними и характеризует их «общий уровень». Видов средних несколько, и каждый удобен в своих задачах. В алгебре чаще всего рассматривают среднее арифметическое и среднее геометрическое, между которыми есть важное и часто применяемое неравенство.

Среднее арифметическое знакомо со средних классов: его используют, когда нужно «уравнять» величины, сохранив их сумму. Среднее геометрическое встречается реже, но именно оно естественно описывает средний темп роста, например при изменении цен или вкладов за несколько периодов. Поэтому оба понятия одинаково полезны.

Определения

Для положительных чисел a и b:

Неравенство о средних

Для любых положительных a и b верно: (a + b)/2 ≥ √(a·b). Среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, причём равенство достигается только при a = b.

Доказательство: (√a − √b)^2 ≥ 0, раскрываем: a − 2√(ab) + b ≥ 0, откуда a + b ≥ 2√(ab), то есть (a + b)/2 ≥ √(ab).

Разобранный пример

Пусть a = 2, b = 8.

Среднее арифметическое: (2 + 8)/2 = 5.

Среднее геометрическое: √(2·8) = √16 = 4.

Видим, что 5 ≥ 4 — неравенство выполнено.

Геометрически неравенство о средних имеет красивый смысл. Если построить прямоугольник со сторонами a и b, то квадрат с такой же площадью будет иметь сторону, равную среднему геометрическому, а среднее арифметическое задаёт сторону «самого выгодного» квадрата с тем же периметром. Из всех прямоугольников заданного периметра наибольшую площадь имеет именно квадрат — это прямое следствие неравенства.

Частые ошибки. Применяют неравенство к отрицательным числам, где оно не действует. Берут корень из суммы вместо корня из произведения. Забывают условие равенства a = b, при котором достигается граница. Путают среднее геометрическое со средним арифметическим.

Где применяется

• Поиск наименьшего значения суммы при заданном произведении.
• Оценки в задачах на минимум и максимум функций.
• Геометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
• Доказательство неравенств в составе метода оценки.

Типичная задача, где неравенство о средних работает напрямую: показать, что сумма положительного числа и обратного к нему не меньше двух, то есть x + 1/x ≥ 2. Применяя неравенство к числам x и 1/x, получаем (x + 1/x)/2 ≥ √(x · 1/x) = 1, откуда сразу следует нужная оценка, а равенство достигается при x = 1. Такой приём встречается во многих заданиях повышенной сложности.

Кратко о главном

• Среднее арифметическое равно (a + b)/2.
• Среднее геометрическое равно √(a·b).
• Для положительных чисел среднее арифметическое не меньше геометрического.
• Равенство выполнено только при равных числах.
• Неравенство помогает находить наименьшие и наибольшие значения.