Степень с рациональным показателем

От корня к дробной степени

В 9 классе понятие степени расширяют: вводят степень с рациональным (дробным) показателем. По определению для положительного a:

a^(1/n) = ⁿ√a a^(m/n) = ⁿ√(a^m)

То есть знаменатель дроби в показателе указывает степень корня, а числитель — степень подкоренного выражения. Основание a при этом берут положительным, чтобы избежать неопределённостей: например, выражение (−4)^(1/2) в действительных числах смысла не имеет.

Зачем это нужно

Дробная степень позволяет записывать корни единообразно и применять к ним все привычные свойства степеней. Это сильно упрощает преобразования выражений с радикалами: вместо громоздких правил для корней работают компактные правила для степеней.

Полезно помнить и связь с отрицательным показателем: a^(−p) = 1/a^p. Поэтому, например, a^(−1/2) = 1/√a.

Свойства степеней

Свойство	Формула
произведение	a^p · a^q = a^(p+q)
частное	a^p : a^q = a^(p−q)
степень степени	(a^p)^q = a^(p·q)
степень произведения	(a·b)^p = a^p · b^p
степень частного	(a/b)^p = a^p / b^p

Перевод корней в степени

Запишем несколько радикалов через дробную степень:

√a = a^(1/2) ³√(a^2) = a^(2/3) ⁵√a = a^(1/5) 1/⁴√a = a^(−1/4)

Разбор примеров

Упростим выражения, применяя свойства степеней:

a^(1/2) · a^(1/3) = a^(1/2 + 1/3) = a^(5/6) (a^(2/3))^3 = a^(2/3 · 3) = a^2 a^(3/4) : a^(1/4) = a^(3/4 − 1/4) = a^(1/2) = √a

Числовые примеры помогают увидеть, как это работает:

8^(2/3) = (³√8)^2 = 2^2 = 4 16^(3/4) = (⁴√16)^3 = 2^3 = 8 27^(−1/3) = 1/³√27 = 1/3

Упрощение выражений с буквами

Дробные степени помогают сворачивать длинные цепочки корней. Упростим выражение √(a · ³√a) при a > 0:

³√a = a^(1/3) a · a^(1/3) = a^(1 + 1/3) = a^(4/3) √(a^(4/3)) = (a^(4/3))^(1/2) = a^(2/3) = ³√(a^2)

Без перевода в степени такое преобразование выглядело бы громоздко, а через показатели оно сводится к простому сложению и умножению дробей.

Сравнение чисел со степенями

Дробные степени удобно сравнивать, приводя их к общему показателю. Сравним 2^(1/2) и 3^(1/3):

Возведём оба числа в 6-ю степень: (2^(1/2))^6 = 2^3 = 8 (3^(1/3))^6 = 3^2 = 9 9 > 8 ⇒ 3^(1/3) > 2^(1/2)

Правило. Складывать показатели можно только при одинаковом основании. Выражение a^(1/2) · b^(1/2) по правилу степени произведения равно (a·b)^(1/2), но не упрощается до сложения показателей. Не путайте эти два разных правила.

Кратко о главном

• Дробная степень a^(m/n) равна ⁿ√(a^m) при a > 0.
• Знаменатель показателя — степень корня, числитель — степень основания.
• Отрицательный показатель означает обратную величину: a^(−p) = 1/a^p.
• Для таких степеней работают все обычные свойства степеней.
• Складывать показатели можно лишь при одинаковом основании.