Решение текстовых задач с помощью систем уравнений
📐 Алгебра · 9 класс
Зачем нужны системы в задачах
Когда в задаче две неизвестные величины и две независимые связи между ними, удобно ввести две переменные и составить систему уравнений. Это часто проще и нагляднее, чем сводить всё к одному уравнению с одной неизвестной.
Решение задачи проходит три этапа: составление математической модели (системы), её решение и истолкование полученного ответа в условиях задачи. Этот подход называют методом математического моделирования.
Как вводить переменные
Обозначают буквами именно те величины, которые требуется найти или через которые легко выразить остальное: цены, скорости, количества, сами числа. Затем каждое условие задачи аккуратно записывают отдельным уравнением. Важно, чтобы уравнений было столько же, сколько переменных.
Этапы решения
- Ввести переменные и пояснить словами, что каждая из них означает.
- Составить систему уравнений по условию задачи.
- Решить систему методом подстановки или сложения.
- Проверить корни на смысл (длина, цена, скорость не бывают отрицательными).
- Записать ответ с указанием единиц измерения.
| Тип задачи | Переменные | Связи (уравнения) |
|---|---|---|
| покупка двух товаров | цены товаров | две суммы покупок |
| задача про числа | сами числа | сумма и разность |
| прямоугольник | стороны | периметр и площадь |
| движение двух тел | скорости | два соотношения расстояний |
Первый пример: про покупку
За 3 тетради и 2 ручки заплатили 130 рублей, а за 1 тетрадь и 4 ручки — 110 рублей. Найдём цены.
Пусть x — цена тетради, y — цена ручки (в рублях).
{ 3x + 2y = 130
x + 4y = 110 }
Из второго уравнения: x = 110 − 4y.
Подставим в первое: 3(110 − 4y) + 2y = 130
330 − 12y + 2y = 130
−10y = −200 ⇒ y = 20
x = 110 − 4·20 = 30
Ответ: тетрадь 30 руб., ручка 20 руб.
Второй пример: про числа
Сумма двух чисел равна 28, а их разность равна 4. Найдём эти числа.
Пусть x и y — искомые числа, x > y.
{ x + y = 28
x − y = 4 }
Сложим уравнения: 2x = 32 ⇒ x = 16
Тогда y = 28 − 16 = 12
Ответ: числа 16 и 12
В этом примере удобнее оказался метод сложения, а в первом — метод подстановки. Выбор метода зависит от вида системы, и оба приводят к одному ответу.
Частые ошибки. Забывают записать словами, что означает каждая переменная, и теряют смысл ответа. Также не проверяют корни на допустимость: отрицательная цена или скорость в ответе быть не может, такой корень нужно отбросить.
Кратко о главном
- Две неизвестные и две связи — повод составить систему уравнений.
- Сначала вводят переменные и поясняют их смысл.
- Каждое условие задачи превращается в отдельное уравнение.
- Найденные корни проверяют на смысл и лишь затем записывают ответ.