Чётные и нечётные функции

Определения

Функция y = f(x) называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполняется f(−x) = f(x). Функция называется нечётной, если при тех же условиях f(−x) = −f(x).

Условие про область определения важно: множество должно быть симметрично относительно нуля, то есть вместе с каждым x содержать и −x. Если ни одно из равенств не выполняется, функцию называют функцией общего вида — она не чётная и не нечётная.

Геометрический смысл

• График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Поэтому свойство чётности позволяет строить только половину графика, а вторую достраивать по симметрии — это экономит время.

Как проверять

1. Проверить, симметрична ли область определения относительно нуля; если нет — функция сразу общего вида.
2. Найти f(−x), аккуратно подставив вместо x выражение −x.
3. Сравнить полученное с f(x) и с −f(x) и сделать вывод.

Функция	f(−x)	Вывод
y = x^2	x^2	чётная
y = x^4 − 1	x^4 − 1	чётная
y = x^3	−x^3	нечётная
y = x^2 + x	x^2 − x	общего вида
y = 1/x	−1/x	нечётная

Первый пример: чётная функция

Исследуем y = x^4 − 3x^2:

f(−x) = (−x)^4 − 3(−x)^2 = x^4 − 3x^2 = f(x) Значит, функция чётная, график симметричен относительно оси Oy.

Второй пример: нечётная функция

Исследуем y = x^3 − x:

f(−x) = (−x)^3 − (−x) = −x^3 + x = −(x^3 − x) = −f(x) Значит, функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.

Третий пример: функция общего вида

Исследуем y = x^2 + x:

f(−x) = (−x)^2 + (−x) = x^2 − x Сравним: f(x) = x^2 + x f(−x) ≠ f(x) (не чётная) f(−x) ≠ −f(x), ведь −f(x) = −x^2 − x (не нечётная) Вывод: функция общего вида

Полезные наблюдения

• Степенная функция y = x^n чётная при чётном n и нечётная при нечётном n — отсюда и названия.
• Сумма двух чётных функций снова чётная, сумма двух нечётных — нечётная.
• Если в формуле есть и чётные, и нечётные степени переменной, функция чаще всего оказывается общего вида.

Свойство чётности удобно использовать при построении графиков: достаточно построить правую половину, а левую достроить зеркально (для чётной) или через центр (для нечётной).

Частые ошибки. При вычислении (−x)^2 и (−x)^4 теряют, что чётная степень убирает минус: (−x)^2 = x^2. А при нечётной степени минус сохраняется: (−x)^3 = −x^3. Из-за этого путают чётность с нечётностью.

Кратко о главном

• Чётная функция: f(−x) = f(x), график симметричен относительно оси ординат.
• Нечётная функция: f(−x) = −f(x), график симметричен относительно начала координат.
• Если ни то ни другое — функция общего вида.
• Сначала проверяют симметричность области определения.