Свойства арифметического квадратного корня

Определение

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. Обозначают его √a. По определению выполняются два условия: √a ≥ 0 и (√a)^2 = a при a ≥ 0. Подкоренное выражение не может быть отрицательным — это часть области допустимых значений.

Очень важное тождество: √(a^2) = |a|. Корень из квадрата равен модулю числа, а не самому числу. Например, √((-5)^2) = √25 = 5 = |-5|.

Основные свойства

Свойство	Запись	Условие
корень из произведения	√(a·b) = √a · √b	a ≥ 0, b ≥ 0
корень из частного	√(a/b) = √a / √b	a ≥ 0, b > 0
корень из квадрата	√(a^2) = |a|	любое a
квадрат корня	(√a)^2 = a	a ≥ 0

Вынесение множителя из-под корня

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, число под корнем раскладывают на произведение, где один из множителей — точный квадрат. Затем корень из квадрата вычисляют и выносят.

√50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5·√2 √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6·√2 √18 = √(9 · 2) = 3·√2 √48 = √(16 · 3) = 4·√3

Внесение множителя под корень

Обратное действие: положительный множитель вносят под корень, предварительно возведя его в квадрат.

5·√2 = √(25 · 2) = √50 3·√7 = √(9 · 7) = √63 2·√10 = √(4 · 10) = √40

Сложение подобных корней

Эти приёмы нужны для сложения и вычитания корней. Складывать можно только подобные корни — с одинаковым подкоренным выражением. Сначала множители выносят, а затем приводят подобные.

√50 + √18 = 5·√2 + 3·√2 = 8·√2 √72 - √8 = 6·√2 - 2·√2 = 4·√2

Сравнение корней без вычислений

Свойства корня помогают сравнивать числа, не находя их приближённых значений. Чтобы сравнить, например, 3·√2 и 2·√5, внесём множители под корень: 3·√2 = √18, 2·√5 = √20. Так как 18 < 20, получаем √18 < √20, то есть 3·√2 < 2·√5. Большему подкоренному выражению соответствует больший корень, ведь функция возрастает.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Иногда корень стоит в знаменателе дроби. Чтобы убрать его, числитель и знаменатель умножают на этот же корень. Например, 1/√2 = √2 / (√2·√2) = √2 / 2. Такое преобразование называют избавлением от иррациональности в знаменателе.

Частые ошибки. Корень из суммы не равен сумме корней: √(a + b) ≠ √a + √b. Под знаком корня может стоять только неотрицательное число. Вносить под корень можно лишь положительный множитель; если перед корнем стоит минус, он остаётся снаружи. Не путайте √(a^2) с a: правильно √(a^2) = |a|.

Кратко о главном

• √(a·b) = √a · √b и √(a/b) = √a / √b при допустимых значениях.
• √(a^2) = |a|, а (√a)^2 = a при a ≥ 0.
• Множитель выносят, выделяя точный квадрат под корнем.
• Положительный множитель вносят под корень, возведя в квадрат.
• Корень из суммы не разбивается на сумму корней.