Симметрические системы уравнений

Симметрические системы уравнений

Симметрической называют систему двух уравнений с двумя переменными, которая не меняется при перестановке местами этих переменных. Например, если поменять x и y, каждое уравнение остаётся прежним. Такие системы часто встречаются в задачах, где требуется найти два числа по их сумме и сумме квадратов или кубов, и для них есть удобный единый приём решения.

Главное наблюдение: если система симметрична, то вместе с любым решением (x; y) решением будет и пара (y; x). Поэтому ответы почти всегда идут парами, и об этом важно помнить, чтобы не потерять одно из решений.

Основная идея

Вводят новые переменные: s = x + y (сумма) и p = x·y (произведение). Эти две величины называют элементарными симметрическими многочленами. Любое симметрическое выражение от x и y можно записать только через s и p, и система от двух громоздких уравнений превращается в более простую систему относительно s и p. Полезные тождества для такого перехода собраны в таблице.

После того как найдены s и p, сами числа x и y получают как корни квадратного уравнения t^2 − s·t + p = 0. Это прямое следствие теоремы Виета: если у квадратного уравнения сумма корней равна s, а произведение равно p, то его корни и есть искомые x и y. Решения существуют, только когда дискриминант этого уравнения неотрицателен, то есть выполнено условие s^2 − 4p ≥ 0.

Разобранный пример

Система: x + y = 5 и x^2 + y^2 = 13.

Пусть s = 5. Тогда x^2 + y^2 = s^2 − 2p = 25 − 2p = 13, откуда p = 6.

Числа — корни уравнения t^2 − 5t + 6 = 0, то есть t = 2 и t = 3.

Ответ: (2; 3) и (3; 2).

Частые ошибки. Неверно раскрывают тождество x^2 + y^2 (пишут s^2 вместо s^2 − 2p). Теряют второе решение, ведь пара (x; y) симметрична. Забывают проверить, что дискриминант уравнения для t неотрицателен.

Когда метод работает

• Оба уравнения симметричны относительно переменных.
• Выражения сводятся к сумме и произведению.
• Часто встречается в задачах на нахождение двух чисел по их сумме и сумме квадратов или кубов.

Если же система симметрична лишь частично или содержит дополнительные слагаемые, замену всё равно стоит попробовать: нередко после неё уравнения становятся линейными относительно s и p. Это превращает запутанную задачу в короткую цепочку понятных действий, которую легко довести до ответа.

Кратко о главном

• Система симметрична, если не меняется при перестановке переменных.
• Вводят замену s = x + y и p = x·y.
• Симметрические выражения переписывают через s и p.
• Числа находят как корни t^2 − s·t + p = 0.
• Решения идут парами и обычно их два набора.