Свойства функций: возрастание, убывание, чётность

Свойства числовых функций

Функция — это правило, по которому каждому значению аргумента x из области определения ставится в соответствие единственное значение y. Чтобы кратко описывать поведение функции и сравнивать разные функции, в девятом классе вводят несколько важных свойств: область определения, монотонность (возрастание и убывание), чётность и нечётность, нули функции и промежутки знакопостоянства. Изучение этих свойств называют исследованием функции.

Возрастание и убывание

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Эти два свойства вместе называют монотонностью. Многие функции возрастают на одних промежутках и убывают на других — тогда промежутки указывают по отдельности.

На графике участок возрастания идёт вверх слева направо, а участок убывания — вниз слева направо.

Чётность и нечётность

Эти свойства показывают, обладает ли график симметрией. Прежде чем их проверять, убеждаются, что область определения симметрична относительно нуля, то есть вместе с каждым x содержит и -x.

Если не выполняется ни одно из условий, функцию называют функцией общего вида — она не является ни чётной, ни нечётной.

Разобранный пример

Исследуем на чётность функцию f(x) = x^2 - 3. Её область определения — все числа, она симметрична относительно нуля. Проверим условие:

f(-x) = (-x)^2 - 3 = x^2 - 3 = f(x).

Условие чётности выполнено, значит, функция чётная, а её график симметричен относительно оси y. Для сравнения рассмотрим функцию g(x) = x^3: g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x). Здесь выполнено условие нечётности, поэтому график симметричен относительно начала координат.

Нули функции

Отдельное важное свойство — нули функции, то есть значения аргумента, при которых y = 0. На графике это точки пересечения с осью x. Зная нули, удобно определять промежутки, где функция положительна, а где отрицательна.

Частые ошибки. Считают чётной любую функцию со степенью; не проверяют симметричность области определения; путают возрастание и убывание при чтении графика справа налево.

Кратко о главном

• Возрастание и убывание описывают, как меняется y при росте x.
• Чётная функция: f(-x) = f(x), симметрия относительно оси y.
• Нечётная функция: f(-x) = -f(x), симметрия относительно начала координат.
• Нули функции — значения x, при которых y = 0.