Решение текстовых задач на совместную работу

Главная идея

В задачах на работу всю работу обычно принимают за единицу: это может быть один наполненный бассейн, одна вспаханная нива, один выполненный заказ. Производительность — это объём работы, выполняемый за единицу времени. Если всю работу 1 выполняют за время t, то производительность равна 1/t.

Основное соотношение: выполненная работа равна произведению производительности на время, A = p·t. Эта формула аналогична формуле движения s = v·t, где роль скорости играет производительность.

Совместная работа

При совместной работе производительности отдельных исполнителей складываются. Если первый исполнитель делает всю работу за a часов, а второй — за b часов, то за один час вместе они выполняют 1/a + 1/b часть работы.

Величина	Обозначение
вся работа	1
производительность первого	1/a
производительность второго	1/b
совместная производительность	1/a + 1/b
время совместной работы	1 / (1/a + 1/b)

Разобранный пример

Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 12 часов. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы, работая вместе?

производительность первой: 1/6 производительность второй: 1/12 вместе за час: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 время: 1 / (1/4) = 4 часа ответ: 4 часа

Если время неизвестно

Часто неизвестно время работы одного из исполнителей. Тогда его обозначают x, производительность записывают как 1/x и составляют уравнение по условию задачи. Нередко получается дробно-рациональное уравнение, которое решают приведением к общему знаменателю.

Например: вместе двое выполняют работу за 4 часа, а первый в одиночку — за 6 часов. Тогда производительность второго равна 1/x, и уравнение 1/6 + 1/x = 1/4 даёт время второго исполнителя. Решив его, получим x = 12 часов.

Аналогия с движением

Задачи на работу устроены так же, как задачи на движение. Роль пути играет вся работа (единица), роль скорости — производительность, роль времени остаётся прежней. Поэтому приёмы решения переносятся: можно завести таблицу с тремя столбцами — работа, производительность, время — и заполнить её для каждого исполнителя. Это делает решение наглядным.

Работа втроём и больше

Если работают трое, их производительности также складываются: совместная производительность равна 1/a + 1/b + 1/c. Чем больше исполнителей, тем выше совместная производительность и тем меньше время. Бывают и задачи, где один процесс мешает другому — например, одна труба наполняет бассейн, а другая его опорожняет; тогда производительность сливающей трубы вычитают.

Правило. Складывать можно производительности, но не время. Распространённая ошибка — сложить время работы двух исполнителей: это всегда неверно. Совместное время обязательно меньше времени самого быстрого из работников, ведь вдвоём дело идёт быстрее.

Кратко о главном

• Вся работа принимается за единицу.
• Производительность за единицу времени равна 1/t.
• Работа равна A = p·t.
• При совместной работе складывают производительности.
• Время совместной работы меньше, чем у каждого по отдельности.