Преобразование графиков функций

Зачем нужны преобразования

Преобразование графика — это построение графика новой функции из уже известного графика без составления таблиц значений. Зная график базовой функции y = f(x), можно быстро строить графики функций вида y = f(x) + b, y = f(x - a), y = k·f(x), y = -f(x) и их комбинаций. Этот приём экономит время и помогает понимать связь между формулой и видом графика.

Сдвиги вдоль осей

Прибавление числа к функции сдвигает график по вертикали, а изменение аргумента — по горизонтали. При этом направление горизонтального сдвига противоположно знаку внутри скобки.

Формула	Что происходит с графиком
y = f(x) + b	сдвиг вверх на b (вниз, если b < 0)
y = f(x - a)	сдвиг вправо на a (влево, если a < 0)
y = -f(x)	отражение относительно оси Ox
y = f(-x)	отражение относительно оси Oy
y = k·f(x)	растяжение по вертикали в k раз

Растяжения и сжатия

Умножение функции на число k растягивает график по вертикали при k > 1 и сжимает его при 0 < k < 1. Если k отрицательное, к растяжению добавляется отражение относительно оси Ox. Например, график y = 2·x^2 «уже» исходной параболы, а график y = 0,5·x^2 — «шире».

y = x^2 — исходная парабола y = x^2 + 3 — сдвиг вверх на 3 y = (x - 2)^2 — сдвиг вправо на 2 y = (x - 2)^2 + 3 — вершина в точке (2; 3) y = -x^2 — ветви направлены вниз y = 2·x^2 — парабола уже исходной

Цепочка преобразований

Рассмотрим функцию y = -(x - 1)^2 + 4. Её график получают из параболы y = x^2 за несколько шагов: сначала сдвиг вправо на 1, затем отражение вниз, затем сдвиг вверх на 4. В итоге вершина оказывается в точке (1; 4), а ветви направлены вниз.

Преобразования других графиков

Те же правила применимы не только к параболе. Например, график функции y = √(x - 2) + 1 получают из графика y = √x сдвигом вправо на 2 и вверх на 1. График гиперболы y = 1/(x + 3) — это сдвиг графика y = 1/x влево на 3. Зная вид базового графика, можно построить целое семейство родственных графиков, не вычисляя точки заново.

Как читать формулу

Чтобы быстро определить преобразования, формулу разбирают по частям. Всё, что прибавлено или вычтено внутри скобки рядом с x, отвечает за горизонтальный сдвиг. Множитель и знак перед функцией отвечают за растяжение и отражение. Число, прибавленное в самом конце, задаёт вертикальный сдвиг.

Порядок построения

1. Определить базовую функцию (например, y = x^2 или y = √x).
2. Выполнить горизонтальный сдвиг (замена x на x - a).
3. Применить растяжение, сжатие и отражение.
4. Сделать вертикальный сдвиг.

Частые ошибки. Сдвиг f(x - a) идёт вправо при положительном a, хотя в скобке стоит минус, — это путают чаще всего. Знак внутри скобки и направление сдвига противоположны. Преобразования аргумента (внутри скобки) и значения (снаружи) выполняют в разном порядке: сначала разбираются с аргументом.

Кратко о главном

• +b снаружи — вертикальный сдвиг; -a внутри — горизонтальный.
• Минус перед функцией отражает по Ox, минус у аргумента — по Oy.
• Множитель k растягивает или сжимает график по вертикали.
• Сначала горизонтальные преобразования, затем вертикальные.
• Сложный график строят цепочкой простых шагов.