Площадь трапеции

Площадь трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (их называют основаниями), а две другие не параллельны (боковые стороны). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Высота трапеции — это расстояние между параллельными основаниями.

Если основания обозначить a и b, а высоту — h, то формула такова:

S = ((a + b) / 2) * h

Откуда берётся формула

Диагональ делит трапецию на два треугольника с общей высотой h. У одного треугольника основание равно a, у другого — b. Сложив их площади, получаем S = (1/2) * a * h + (1/2) * b * h = ((a + b) / 2) * h. Этот вывод полезно уметь воспроизводить, потому что он опирается только на формулу площади треугольника.

Связь со средней линией

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2. Поэтому площадь удобно записывать как произведение средней линии на высоту: S = m * h. Если в задаче дана средняя линия, это самый короткий путь к ответу.

Разбор примера 1

Основания трапеции равны 5 см и 9 см, высота 4 см. Найдём площадь.

S = ((5 + 9) / 2) * 4 = 7 * 4 = 28 кв. см

Разбор примера 2

Средняя линия трапеции равна 11 см, а высота — 6 см. Тогда площадь равна S = 11 * 6 = 66 кв. см. Здесь основания вычислять не нужно, достаточно средней линии.

Как найти недостающий элемент

Формулу площади можно применять в обратную сторону. Если известны площадь и оба основания, то высоту находят как h = 2 * S / (a + b). Если известны площадь и высота, то сумму оснований получают как a + b = 2 * S / h. Такие обратные задачи встречаются очень часто, поэтому полезно держать в уме саму формулу, а не только готовый ответ. Например, при площади 28 и высоте 4 сумма оснований равна 2 * 28 / 4 = 14, что согласуется с основаниями 5 и 9 из первого примера.

Особый случай прямоугольной трапеции

У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта боковая сторона и есть высота, поэтому отдельно искать высоту не приходится — она дана в условии вместе со стороной.

Частые ошибки. Высота — это расстояние между основаниями, а не боковая сторона. В наклонной трапеции боковая сторона длиннее высоты, и подставлять её в формулу нельзя. Также нельзя забывать делить сумму оснований пополам: произведение суммы оснований на высоту даёт удвоенную площадь.

Кратко о главном

• Площадь трапеции: S = ((a + b) / 2) * h.
• Полусумма оснований равна средней линии, поэтому S = m * h.
• Высота берётся между параллельными основаниями.
• Формула выводится через две площади треугольников.