Площадь прямоугольного треугольника
📏 Геометрия · 8 класс
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называют катетами, а сторону напротив прямого угла — гипотенузой. Площадь такого треугольника находится особенно просто, потому что катеты сами играют роль основания и высоты.
Основная формула
Если катеты обозначить как a и b, то площадь равна половине их произведения:
S = (a · b) / 2
Это прямое следствие общей формулы площади треугольника S = (1/2) · основание · высота: один катет берётся за основание, а второй катет перпендикулярен ему и служит высотой.
Через гипотенузу и высоту
Если известна гипотенуза c и проведённая к ней высота h_c, то площадь считают по общей формуле:
S = (c · h_c) / 2
Приравняв два выражения для площади, получаем полезное соотношение a · b = c · h_c.
| Что дано | Формула площади |
|---|---|
Два катета a и b | S = (a · b) / 2 |
Гипотенуза c и высота h_c | S = (c · h_c) / 2 |
Катет a и острый угол при нём | через b = a · tg(угол) |
Разобранный пример
Пусть катеты равны 6 см и 8 см. Тогда:
S = (6 · 8) / 2 = 48 / 2 = 24 кв.см
По теореме Пифагора гипотенуза равна c = √(36 + 64) = √100 = 10 см. Найдём высоту к гипотенузе из равенства a · b = c · h_c: h_c = 48 / 10 = 4,8 см.
Частая ошибка. Школьники иногда умножают на высоту, забывая разделить результат пополам. Помните: множитель 1/2 присутствует всегда, даже когда основанием служит катет.Через катет и острый угол
Иногда вместо второго катета известен острый угол. Тогда недостающий катет выражают через тангенс. Если дан катет a и острый угол при нём, то второй катет равен b = a · tg(угол), после чего площадь считают по основной формуле. Этот приём связывает тему площади с тригонометрией прямоугольного треугольника и часто встречается в задачах.
Второй пример
Пусть один катет равен 5 см, а противолежащий ему острый угол равен 45 градусам. Тогда tg(45°) = 1, значит второй катет тоже равен 5 см, и площадь:
S = (5 · 5) / 2 = 25 / 2 = 12,5 кв.см
Такой треугольник равнобедренный: при угле 45 градусов катеты всегда равны между собой.
Где это применяют
- В вычислении площадей сложных фигур, разбитых на прямоугольные треугольники.
- При нахождении высоты, опущенной на гипотенузу.
- В задачах с координатной плоскостью, где катеты параллельны осям.
- В измерительных задачах на местности, где прямой угол задаётся естественно.
Умение быстро находить площадь прямоугольного треугольника — основа для более сложных вычислений: площадь любого многоугольника можно получить, разбив его на прямоугольные треугольники и сложив их площади.
Кратко о главном
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S = (a · b) / 2. - Катеты одновременно служат основанием и высотой.
- Через гипотенузу:
S = (c · h_c) / 2. - Связь высоты и сторон:
a · b = c · h_c. - Недостающий катет можно найти через тангенс острого угла.