Теорема, обратная теореме Пифагора
📏 Геометрия · 8 класс
Формулировка обратной теоремы
Теорема Пифагора утверждает: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обратная теорема позволяет двигаться в противоположную сторону: по длинам сторон определить, прямоугольный ли треугольник. Звучит она так: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный, причём прямой угол лежит против наибольшей стороны. Это очень удобный инструмент, потому что он избавляет от необходимости измерять углы транспортиром.
Зачем нужна обратная теорема
Прямая теорема работает, когда мы уже знаем, что угол прямой, и хотим найти сторону. Обратная теорема решает другую задачу: нам даны три числа — стороны, и нужно установить вид треугольника. Это применяют в строительстве, геодезии и разметке участков, где важно получить точный прямой угол без специальных приборов.
Условие в виде формулы
Пусть стороны равны a, b, c, и c — наибольшая. Тогда:
если a² + b² = c², то угол против c равен 90°
Более того, по соотношению квадратов сторон можно определить не только прямоугольный, но и остроугольный или тупоугольный треугольник.
| Соотношение | Вид треугольника | Наибольший угол |
|---|---|---|
a² + b² = c² | прямоугольный | равен 90° |
a² + b² > c² | остроугольный | меньше 90° |
a² + b² < c² | тупоугольный | больше 90° |
Разобранный пример
Проверим, прямоугольный ли треугольник со сторонами 6, 8 и 10.
наибольшая сторона c = 10
a² + b² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c² = 10² = 100
Поскольку 100 = 100, треугольник прямоугольный, прямой угол лежит против стороны 10.
Второй пример
Проверим треугольник со сторонами 4, 5, 6. Наибольшая сторона равна 6.
4² + 5² = 16 + 25 = 41
6² = 36
Так как 41 > 36, выполняется неравенство a² + b² > c², значит, треугольник остроугольный.
Частая ошибка: сравнивать квадраты сторон в произвольном порядке. Сначала нужно найти наибольшую сторону — именно её квадрат должен стоять отдельно. Если за c взять не самую длинную сторону, равенство не выполнится даже для прямоугольного треугольника, и можно получить неверный вывод.Связь с разметкой прямого угла
Строители издавна используют верёвку с узлами через равные промежутки в пропорции 3 : 4 : 5. Натянув треугольник с такими сторонами, они получают точный прямой угол — это прямое применение обратной теоремы. Метод называют «египетским треугольником», потому что им пользовались ещё при строительстве пирамид.
Кратко о главном
- Обратная теорема: если
a² + b² = c², то треугольник прямоугольный. - Прямой угол лежит против наибольшей стороны.
- По соотношению квадратов можно определить и остроугольный, и тупоугольный треугольник.
- Сначала находят наибольшую сторону, и только её квадрат сравнивают с суммой двух других.
- Классический пример — тройка 3, 4, 5 для разметки прямого угла.