Уравнение прямой

Уравнение прямой

Метод координат позволяет задавать линии уравнениями. Уравнением прямой называют равенство с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты ни одной точки вне её.

Общий вид

Любую прямую на координатной плоскости можно задать уравнением вида a·x + b·y + c = 0, где a и b не равны нулю одновременно. Это называют общим уравнением прямой. На практике чаще пользуются уравнением с угловым коэффициентом.

Прямая через две точки

Через две точки проходит ровно одна прямая. Чтобы составить её уравнение, подставляют координаты обеих точек в y = k·x + b и решают систему относительно k и b.

Разбор примера

Составим уравнение прямой, проходящей через точки (0; 1) и (2; 5).

точка (0; 1): 1 = k·0 + b → b = 1
точка (2; 5): 5 = k·2 + 1 → 2k = 4 → k = 2
уравнение: y = 2x + 1

Проверим: подставим вторую точку. 2·2 + 1 = 5 — верно, точка лежит на прямой.

Построение прямой по уравнению

Чтобы построить прямую, достаточно найти две её точки. Удобно взять точки пересечения с осями: подставить x = 0 и затем y = 0. Через две полученные точки проводят прямую.

Пересечение двух прямых

Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нужно решить систему из их уравнений. Координаты точки пересечения — это пара чисел, удовлетворяющая обоим уравнениям одновременно. Если прямые параллельны, система не имеет решений; если уравнения задают одну и ту же прямую, решений бесконечно много.

Разбор примера на пересечение

Найдём точку пересечения прямых y = 2x + 1 и y = −x + 4. Приравняем правые части.

2x + 1 = −x + 4
3x = 3 → x = 1
y = 2·1 + 1 = 3

Прямые пересекаются в точке (1; 3). Проверкой во втором уравнении: −1 + 4 = 3 — верно.

Принадлежность точки прямой

Чтобы выяснить, лежит ли точка на прямой, её координаты подставляют в уравнение. Если равенство выполняется, точка принадлежит прямой; если нет — лежит вне её. Например, проверим точку (3; 7) для прямой y = 2x + 1: подставляем и получаем 2·3 + 1 = 7 — равенство верно, значит, точка на прямой. А точка (3; 5) не подходит, ведь 2·3 + 1 = 7 ≠ 5. Этот простой приём заменяет построение и измерение по чертежу.

Частые ошибки. Пытаются задать вертикальную прямую формулой y = k·x + b — это невозможно, для неё уравнение x = a. Также при решении системы путают, какое число соответствует k, а какое — b. При поиске пересечения забывают подставить найденный x обратно, чтобы вычислить y.

Кратко о главном

• Уравнению прямой удовлетворяют координаты всех её точек.
• Общий вид уравнения прямой: a·x + b·y + c = 0.
• Невертикальную прямую задают как y = k·x + b.
• Вертикальная прямая имеет уравнение x = a.
• Для построения прямой достаточно двух её точек.