Ортоцентр треугольника
📏 Геометрия · 8 класс
Ортоцентр — это точка пересечения трёх высот треугольника (или прямых, на которых они лежат). Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. У любого треугольника три высоты, и замечательный факт состоит в том, что все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эту точку обозначают обычно буквой H.
Где лежит ортоцентр
Положение ортоцентра зависит от вида треугольника. Это полезно помнить, чтобы при решении задачи искать точку именно там, где она действительно находится, и не делать ошибок в построении чертежа.
| Вид треугольника | Где находится ортоцентр |
|---|---|
| Остроугольный | Внутри треугольника |
| Прямоугольный | В вершине прямого угла |
| Тупоугольный | Вне треугольника |
В прямоугольном треугольнике две стороны (катеты) сами являются высотами друг к другу, поэтому их «пересечение» — это вершина прямого угла. В тупоугольном треугольнике две высоты приходится проводить к продолжениям сторон, и точка их пересечения оказывается за пределами фигуры.
Почему высоты пересекаются в одной точке
Доказательство опирается на красивый приём. Через каждую вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Эти три прямые образуют новый, больший треугольник. Оказывается, что высоты исходного треугольника являются серединными перпендикулярами к сторонам этого большего треугольника. А серединные перпендикуляры, как уже известно из темы об описанной окружности, пересекаются в одной точке. Значит, и высоты исходного треугольника пересекаются в одной точке.
Разбор примера
Пусть в треугольнике с вершинами A, B, C проведены высоты из двух вершин. Покажем, как найти и проверить третью высоту.
1) Проводим высоту BH_1 ⟂ AC.
2) Проводим высоту CH_2 ⟂ AB.
3) Они пересекаются в точке H.
4) Высота из вершины A обязана пройти через ту же точку H,
значит, прямая AH ⟂ BC.
Этот вывод позволяет проверять чертёж: если построенная прямая AH не оказалась перпендикулярной стороне BC, значит, в построении или в положении точки H допущена ошибка.
Связь с другими точками
Ортоцентр входит в число важнейших точек треугольника наряду с центром тяжести (точкой пересечения медиан), центром вписанной окружности (точкой пересечения биссектрис) и центром описанной окружности (точкой пересечения серединных перпендикуляров). В равностороннем треугольнике все эти четыре точки совпадают в одной — в центре фигуры.
Частые ошибки. Высоту нередко путают с медианой или биссектрисой. Высота — это именно перпендикуляр к стороне, а не отрезок к середине стороны и не отрезок, делящий угол пополам. В тупоугольном треугольнике две высоты приходится продолжать за пределы сторон, и про это часто забывают, из-за чего ортоцентр «теряется» снаружи фигуры.
Кратко о главном
- Ортоцентр — точка пересечения трёх высот треугольника.
- В остроугольном треугольнике он внутри, в прямоугольном — в вершине прямого угла, в тупоугольном — снаружи.
- Высоты всегда пересекаются в одной точке; это доказывается через серединные перпендикуляры большего треугольника.
- Высота — перпендикуляр к стороне, её нельзя путать с медианой и биссектрисой.
- В равностороннем треугольнике ортоцентр совпадает с центром тяжести и центрами окружностей.