Свойство медиан и центроид
📏 Геометрия · 8 класс
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. У треугольника ровно три медианы, и все они пересекаются в одной точке. Эту точку называют центроидом, или центром тяжести, и обозначают обычно буквой M. Свойство пересечения медиан — одно из ключевых в геометрии 8 класса.
Главное свойство медиан
Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Это значит, что от вершины до центроида укладывается две части, а от центроида до середины противоположной стороны — одна часть. Так происходит со всеми тремя медианами одновременно.
| Отрезок медианы | Доля от всей медианы |
|---|---|
| От вершины до центроида | 2/3 |
| От центроида до стороны | 1/3 |
Как пользоваться свойством
Если медиана равна m, то расстояние от вершины до центроида равно (2/3)·m, а расстояние от центроида до стороны — (1/3)·m. Зная любую одну часть, можно найти и всю медиану, и вторую её часть. Это часто требуется в задачах, где известна только часть отрезка.
Пример. Медиана AK = 12 см.
От вершины A до центроида M: AM = (2/3)·12 = 8 см.
От центроида M до середины K: MK = (1/3)·12 = 4 см.
Проверка: 8 + 4 = 12 ✓, и 8 : 4 = 2 : 1 ✓
Обратная задача
Пусть известно, что от центроида до середины стороны расстояние равно 3 см. Тогда от вершины до центроида — вдвое больше, то есть 6 см, а вся медиана равна 3 + 6 = 9 см. Умение переходить от части к целому и обратно — основа решения подобных задач.
Ещё один пример
Три медианы треугольника равны 9, 12 и 15 сантиметрам. Найдём расстояния от центроида до каждой вершины.
До первой вершины: (2/3)·9 = 6 см
До второй вершины: (2/3)·12 = 8 см
До третьей вершины: (2/3)·15 = 10 см
А расстояния от центроида до середин сторон будут втрое меньше всей медианы: 3, 4 и 5 сантиметров соответственно. Видно, что центроид расположен ближе к серединам сторон, чем к вершинам.
Центр тяжести
Название «центр тяжести» не случайно. Если вырезать треугольник из однородного материала и подвесить его в центроиде, фигура будет находиться в равновесии. Кроме того, три медианы разбивают треугольник на шесть маленьких треугольников, и все шесть имеют одинаковую площадь — они равновеликие. Это следствие того, что медиана делит треугольник на две части равной площади.
Правило и частая ошибка. Отношение 2:1 отсчитывается ВСЕГДА от вершины к стороне. Если перепутать направление и записать 1:2, ответ будет неверным. Запомните: большая часть медианы всегда прилегает к вершине.
Кратко о главном
- Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
- Три медианы пересекаются в одной точке — центроиде.
- Центроид делит каждую медиану в отношении
2:1, считая от вершины. - Большая часть (2/3) прилегает к вершине, меньшая (1/3) — к стороне.
- Медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.