Площадь треугольника через синус угла

Площадь треугольника можно вычислить, зная две его стороны и угол между ними. Эта формула опирается на понятие синуса острого угла, которое изучают в 8 классе, и работает для любого треугольника, а не только для прямоугольного.

Формула

Если две стороны равны a и b, а угол между ними равен α, то площадь треугольника равна половине произведения этих сторон на синус угла между ними.

S = (1/2)·a·b·sin α

Откуда она берётся

Проведём высоту к стороне a из противоположной вершины. В получившемся прямоугольном треугольнике эта высота равна b·sin α, потому что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе b. Подставив высоту h = b·sin α в обычную формулу площади S = (1/2)·a·h, получаем нужное выражение. Так формула с синусом естественно следует из определения синуса.

Угол α	sin α	Комментарий
30°	0,5	половина
45°	≈0,71	равно √2/2
60°	≈0,87	равно √3/2
90°	1	площадь максимальна

Разбор примера

Пусть две стороны равны 6 и 8, а угол между ними равен 30°. Найдём площадь.

S = (1/2)·6·8·sin 30° S = (1/2)·6·8·0,5 S = 24·0,5 = 12

Площадь равна 12 квадратным единицам. Любопытно сравнить: если бы при тех же сторонах угол был прямым (90°), площадь была бы наибольшей и равной (1/2)·6·8·1 = 24. Чем ближе угол к прямому, тем больше площадь при фиксированных сторонах.

Второй пример

Стороны 10 и 4, угол между ними 90°. S = (1/2)·10·4·sin 90° = (1/2)·10·4·1 = 20

Здесь синус прямого угла равен 1, и формула совпадает с привычной формулой для прямоугольного треугольника через катеты.

Площадь параллелограмма через ту же идею

Та же идея работает и для параллелограмма. Если две его соседние стороны равны a и b, а угол между ними равен α, то площадь параллелограмма равна a·b·sin α — без множителя одна вторая, потому что параллелограмм состоит из двух равных треугольников. Это показывает, что формула с синусом — общий и удобный инструмент для вычисления площадей.

Параллелограмм: a = 7, b = 5, угол 30°. S = 7·5·sin 30° = 35·0,5 = 17,5

Когда выбирать эту формулу

Формула с синусом незаменима, когда в условии задачи даны именно две стороны и угол между ними. Если же известны три стороны, берут формулу Герона, а если основание и высота — обычную формулу. Правильный выбор способа экономит время на решении.

Правило. Угол в формуле берётся именно МЕЖДУ выбранными сторонами a и b. Если по ошибке взять синус другого угла треугольника, формула даст неверный результат. При угле 90° синус равен 1, и площадь оказывается максимальной для данных двух сторон.

Кратко о главном

• Площадь: S = (1/2)·a·b·sin α.
• Угол α — это угол между сторонами a и b.
• Формула выводится из высоты h = b·sin α.
• При прямом угле синус равен 1, площадь наибольшая.
• Подходит для любого треугольника, а не только прямоугольного.