Формула Пика: площадь по узлам целочисленной решётки
📏 Геометрия · 8 класс
Формула Пика позволяет найти площадь простого многоугольника, вершины которого лежат в узлах единичной квадратной решётки. Если I — число узлов строго внутри, а B — число узлов на
Формула Пика позволяет найти площадь простого многоугольника, вершины которого лежат в узлах единичной квадратной решётки. Если I — число узлов строго внутри, а B — число узлов на границе, то S=I+B/2−1. Площадь выражается в квадратных единицах выбранной сетки.
Сначала проверьте условия
Многоугольник не должен самопересекаться, все его вершины должны быть узлами решётки. В базовой формулировке рассматривают область без отверстий. Не нужно подставлять в формулу произвольную гладкую фигуру только потому, что она нарисована на клетчатой бумаге.
Граничные узлы — все точки решётки на сторонах, а не только вершины. Если на наклонной стороне есть промежуточные целочисленные точки, их тоже считают. Угол многоугольника принадлежит границе один раз, хотя сходятся две стороны.
Прямоугольник 4 на 3
Возьмём вершины(0;0),(4;0),(4;3),(0;3). Внутри находятся 3·2=6 узлов. На границе 14: по периметру идут 4+3+4+3 единичных отрезка, и столько же различных узлов в замкнутом обходе. Получаем S=6+14/2−1=12. Это совпадает с обычной формулой 4·3.
Совпадение на одном примере помогает проверить подсчёт, но не доказывает теорему целиком. Для понимания полезно также разбивать решётчатую фигуру на части и следить, как точки общего разреза меняют роль: часть из них становится внутренними в объединённой области.
Наклонная сторона
Для треугольника(0;0),(4;0),(0;3)граничных узлов 8: четыре единичных шага по горизонтали, три по вертикали и один примитивный наклонный отрезок между вершинами. Внутренних узлов 3. Поэтому S=3+8/2−1=6, что совпадает с половиной произведения катетов.
Число промежуточных узлов на отрезке с целочисленными разностями координатΔx,Δy связано с НОД(|Δx|,|Δy|). Это полезно при длинной наклонной границе. Но при подсчёте всего многоугольника снова учитывайте угловые точки без повторного включения.
Задания и ответы
1. I=5,B=8. Найдите площадь. Ответ:8. 2. Может ли B означать только количество углов? Нет. 3. На сетке с шагом 2 см значение по формуле получилось 7. Какова физическая площадь?28 см², потому что единичная клетка этой сетки имеет площадь 4 см².
Для практики нарисуйте два невыпуклых, но несамопересекающихся многоугольника с целочисленными вершинами. Найдите площади по формуле и разбиением на простые фигуры. Если результаты различаются, сначала проверьте граничные узлы и масштаб: это более частые ошибки, чем неверная арифметика самой формулы.
Проверка масштаба и граничного подсчёта
У отрезка от (0;0) до (6;4) разности координат равны 6 и 4, их НОД равен 2. Поэтому отрезок разбивается узлами на два примитивных участка, а единственный внутренний узел отрезка — (3;2). Самих узлов с обоими концами три. В формуле для замкнутого обхода многоугольника суммируют количества таких участков по сторонам; это даёт число различных граничных узлов. Если вместо этого сложить количества точек на каждой стороне с обоими концами, угловые узлы окажутся посчитанными дважды.
Связанные материалы
Площадь прямоугольника и единицы площади, Площадь прямоугольного треугольника.
Источники и проверка
МЦНМО: Формула Пика, занятие геометрического кружка.