Аксиома параллельных прямых
📏 Геометрия · 8 класс
Аксиома параллельных прямых
Аксиома — это утверждение, которое принимается без доказательства и кладётся в основу геометрии. Аксиома параллельных прямых формулируется так: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Напомним, что параллельными называют две прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Существование хотя бы одной такой прямой доказывается, а вот её единственность как раз и утверждает аксиома.
Зачем нужна эта аксиома
На аксиоме параллельных прямых держатся многие важные факты школьной геометрии. Из неё выводятся свойства углов при пересечении параллельных прямых секущей и теорема о сумме углов треугольника, равной 180 градусам.
| Углы при секущей | Если прямые параллельны |
|---|---|
| Накрест лежащие | равны |
| Соответственные | равны |
| Односторонние | в сумме 180 градусов |
Следствия из аксиомы
- Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую.
- Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Эти следствия часто применяются в доказательствах и при решении задач на параллельность.
Разбор примера
Пусть две параллельные прямые пересечены секущей, и один из накрест лежащих углов равен 50 градусам. Найдём соответственный ему угол.
накрест лежащие равны → второй угол = 50°соответственный угол = 50° (равен накрест лежащему по свойству)
Так, опираясь на аксиому и её следствия, можно находить любые углы, образованные параллельными прямыми и секущей.
История аксиомы
Аксиома параллельных прямых известна со времён древнегреческого математика Евклида и входит в число его исходных постулатов. На протяжении многих веков учёные пытались доказать её, выводя из остальных аксиом, но все попытки оказались безуспешными. В девятнадцатом веке выяснилось, что эту аксиому доказать нельзя: существуют другие, неевклидовы геометрии, где она не выполняется. В школьном курсе мы изучаем именно евклидову геометрию, где аксиома справедлива.
Признаки параллельности
С аксиомой тесно связаны признаки параллельности прямых. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, либо соответственные углы равны, либо сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны. Эти признаки и свойства углов из таблицы взаимно обратны и вместе дают полный инструмент для работы с параллельными прямыми.
Частые ошибки. Путают аксиому (принимается без доказательства) с теоремой (доказывается). Также ошибочно считают, что параллельность бывает у прямых в пространстве по тем же правилам — в курсе 8 класса речь идёт о прямых на плоскости. Ещё смешивают свойство (от параллельности к углам) и признак (от углов к параллельности).
Кратко о главном
- Через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая.
- Аксиома принимается без доказательства.
- Из неё следуют свойства углов при параллельных прямых и секущей.
- Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
- Эти факты применяют для вычисления углов.